LIM

Correction DS n°7. Exercice 1 : On considère la fonction f définie sur R par : 𝒇(𝒙) = 𝒙𝑒−𝑥. 1. Réponse d. 𝑓(ln 2) = ln 2 e− ln 2 = ln 2 eln( 1 2 ) = ln 2 × 1 2 = 1 2 ln 2. 2. Réponse c. 𝑓′(𝑥) = 1 × 𝑒−𝑥 + 𝑥(−1 × 𝑒−𝑥) = (1 − 𝑥)𝑒−𝑥. 3. Réponse c. L’équation réduite de la tangente 𝑇0 à la courbe de la fonction f au point d’abscisse 0 est : 𝑦 = 𝑓′(0)(𝑥

4 2 0 -2 -4 3Pi/2 -4 -2 0 2 exp ln Pi 4 6 Limites Si lim f ( x) = l avec l réel alors f admet une asymptote horizontale d’équation y = l en ±∞ x → ±∞ Si lim f ( x) = ±∞ alors f admet une asymptote verticale d’équation x = x0 . x → x0 Exponentielle : x → +∞ x → −∞ Logarithme : défini seulement pour x > 0 x → +∞ x →0 + lim exp x = +∞ lim exp x = 0 lim exp x α lim ln x = +∞ lim ln x = −∞ lim ln x =0 x → +∞ x = +∞ α >0 x → +∞ xα α >0 Puissance

signifie que dans les coordonnées de M, x tend vers 1 (car x A = 1 ). Le coefficient directeur de la tangente en A est donc : lim xM →1 yM − y A x ² −1 = lim = M = lim ( xM + 1) = 2 xM →1 xM − xA xM − 1 xM →1 La tangente en A à la courbe est donc la droite passant par A et de coefficient f ( x) − f ( x A ) directeur 2 = lim . x →1 x − xA On note f ′(1) = lim x →1 f ( x) − f (1) x −1 C’est le nombre dérivé de f en x=1 La tangente en A admet pour équation : y = 2 x + b

existe un réel l tel que lim Un = l. • La suite est dite divergente si elle n’admet pas de limite ou si lim Un = ±∞ n→+∞ • Les théorèmes sur les opérations avec les limites de fonction restent valables pour les suites. Pour les suites définies par Un = f (n) : si f admet une limite en +∞ alors lim Un = lim f (x). n→+∞ x→+∞ (dans la pratique, on peut continuer à utiliser n comme variable) Exemple : n n lim = lim n→+∞ n2 + 1 n→+∞ 2 n 1 + n12 car lim 1 2 n→+∞ n n→+∞ = lim 1 n 1 + n12 n→+∞

limite a si tout intervalle ouvert centr´ e en a (si petit soit-il !) contient tous les termes de la suite sauf un nombre fini. Autrement dit, si quelque soit > 0, il existe un indice n tel que n > n implique |an − a| < . 24 On ´crit alors e a = lim an n→+∞ (lire : a est la limite des an lorsque n tend vers l’infini) et on dit que la suite est convergente — divergente est l’antonyme. Il est clair de cette d´finition e qu’une suite admet au plus une limite. Pour montrer que a est la limite de

seront des C -espaces vectoriels. On notera x∗ la conjuguée complexe de x , c’est-à-dire la fonction : t a x ( t ) . Partie I Soit x une fonction appartenant à nombre B . On appelle moyenne de x , s’il existe, le ∫0 x ( t ) dt T 1 M ( x ) = lim M T ( x ) avec M T ( x ) = --T T→∞ (1) On dira alors que la fonction x est moyennable. I.A I.A.1) Montrer que M T est une forme linéaire sur B , que l’ensemble des fonctions moyennables M 1 est un sous-espace vectoriel de B , et que M est une

la suite géométrique définie par u0 =10 et de raison 1.1 : la somme 0 1 10 u + u +...+ u vaut environ a. 185 b. -19 c. 159 d. 15,9 Q4. Soit un une suite géométrique telle que u0 = 5000 et de raison 0,5 : a. lim 0 n n u ®+¥ = b. lim 5000 n n u ®+¥ = c. lim n n u ®+¥ = -¥ d. lim n n u ®+¥ = +¥ Q5. Soit un la suite arithmétique de premier terme u0 = 2 et de raison 5 : un dépasse 500 à partir de a. n=102 b. n=5 c. n=4 d. n=100 Exercice II [5 pts] 1. En octobre 1998, Roberto payait

Limites et ordre 1. Théorème des « Gendarmes » Si, pour x « assez voisin de a »(a fini ou infini), on a : u(x) f (x) v(x) et si u et v ont la même limite l en a, alors : lim f (x) = l x→a 1.1 Limites et ordre 2. Cas d’une limite infinie Si, pour x « assez voisin de a »on a f (x) x→a x→a u(x), et si : lim u(x) = +∞, alors lim f (x) = +∞ (Énoncé analogue pour −∞) Démonstration : Dans le cas où a = +∞ (c’est le cas qui figure au programme, la démonstration des autres cas ne pourra vous être demandée

hi hj 1≤i,j≤n 1 ∂2f (a) + o( h 2 ) = Qa (h) + o( h 2 ). ∂xi ∂xj 2 Qa (u) + o(t2 ) ≤ 0, ainsi pour t voisin de 0, on a : t2 Qa (u) + o(t2 ) ≤ 0. 1.2.2.2 L’inégalité précédente s’écrit aussi pour tout t ∈] − η, η[\{0} : Qa (u) + ε(t) ≤ 0, où lim ε(t) = 0, donc quand t tend vers 0, on obtient Qa (u) ≤ 0, donc Qa est négative. 1.2.3 Comme Qa est négative, alors ∂2f (a) = (Ha (ei )|ei ) = Qa (ei ) ≤ 0. ∂x2 i Où (e1 , e2 , ..., en ) désigne la base canonique de Rn et (.|.) le produit scalaire canonique

est la limite de la suite (un )n∈N ou que la suite (un )n∈N converge vers ℓ. On note lim un = ℓ. n→+∞ La suite (un )n∈N est dite divergente si elle ne converge pas. Définition II.3.2. — Soit (un )n∈N une suite. La suite (un )n∈N a pour limite +∞ ou diverge vers +∞ si un est aussi grand que l’on veut pourvu que n soit suffisamment grand. On note lim un = +∞. n→+∞ Remarque II.3.3. — On définit de façon analogue lim un = −∞. n→+∞ Remarque II.3.4. — Une suite divergente soit admet une limite infinie