LIM

peut penser que, puisque 28 = 2 × 14, ln(28) = ln(2) + ln(14). On vérifie cette proposition à l’aide de la calculatrice. b) On observe que la fonction ln est strictement croissante. c) L’axe des ordonnées est asymptote à la courbe. On conclut que lim ln(x) = – ∞. x→0 Application 1 d) À l’écran de la calculatrice, on trace la droite d’équa- ΂ ΃ Application 1 u avec u(x) = ln(x) et v(x) = x. v Application 2 a) • (0,9)n р 0,5 équivaut à x ln(0,9) р ln(0,5). tion y = 1. On observe que l’équation

à f (0) = 0 (inutile de faire le calcul, c’est une condition initiale). - un maximum en 2, égal à f (2) = 4e −2 ≈ 0,54 . Par théorème ∀n∈N x →+∞ lim x n e− x = 0 , donc (remplacez n par 2) x →+∞ lim x 2 e− x = 0 . La représentation graphique de f admet l’axe des abscisses pour asymptote en +∞. Enfin, lim x 2 = lim e − x = +∞ donc lim x 2 e− x = +∞ (théorème de multiplication). x →−∞ x →+∞ x →−∞ x f '(x) f (x) −∞ − +∞ 0 0 0 + 2 0 4e −2 +∞ − 0 EQUATIONS DIFFERENTIELLES

)n∈IN de rationnels (c’est q a ` dire xn ∈ Q) telle que: lim xn = x. I On dit que Q est dense dans IR. I (Prendre par exemple pour xn la valeur d´cimale approch´e par d´faut de x e e e a ` 10−n pr`s.) e d) Dans IR, toute suite croissante, major´e est convergente. e C’est ` dire, si (un )n∈IN est une suite de nombres r´els telle que: a e i) Pour tout n: un ≤ un+1 , ii)∃M ∈ IR, ∀n ∈ IN, un ≤ M, alors, il existe l ∈ IR, unique, tel que: lim un = l (on va d´finir prochainement, la signification pr´cise

renseignements fournis : f (x ) et lim [ f ( x ) − 2 x ] ; . 1) Déterminer lim f ( x ) ; lim f ( x ) ; lim x → +∞ x → −∞ x → +∞ x x → +∞ 2) Déterminer f ' (− 1) et f ' (− 3) . 3) a – Déterminer f d ' (− 4) . b – f est elle dérivable à gauche en − 4 ? Justifier. f ( x ) − f (− 4) c – Déterminer lim . x+4 x → (− 4 )− g ( x ) − g (− 1) = 4. x → −1 x +1 b – Donner alors une équation cartésienne de la tangente à la courbe de g au point d’abscisse − 1 . a – Montrer que lim 1 Exercice 2 : ( 8 points)

1.a) La fonction Arctan est définie sur R. Par conséquent f l’est aussi. b) lim f ( x) x x lim 2 Arc tan( x 2 1 x) 1 x2 x2 x lim 2 Arc tan 1 x2 1 x ( x 2 1 x) ( x 2 1 x) ( x 2 1 x) lim 2 Arc tan X X 0 = xlim 2 Arc tan x2 1 x x lim 2 Arc tan 0 On en déduit donc que la courbe de f admet comme asymptote l’axe des abscisses. x lim f ( x) x lim 2 Arc tan( x 2 1 x) X lim 2 Arc tan X 2 2 . On en déduit donc que la courbe de f admet comme

2 2. Etude du signe de g(x) pour x réel a. Calculer les limites de g(x) quand x tend vers +∞ puis quand x tend vers −∞ . x − > +∞ lim ( x + 2) = +∞ ; x − > +∞ x − > +∞ lim e x = +∞ donc lim g(x) = +∞ 2 1 xe x + xe x − 1 : e e g(x) = 2xe x −1 + x²e x −1 − 1 = 2 x 1 xe = 0 ; lim xe x = 0 x − > −∞ e x − > −∞ e donc lim g(x) = −1 lim x − > −∞ b. Calculer g' (x) et étudier son signe suivant les valeurs de x. g(x)=(x+2)e x-1 – 1. La fonction g est dérivable

= vn + 1 pour tout n n 1. Il est clair que tous les vn sont strictement positifs. (a) Soit n un entier, n 1. Montrer que si vn+1 < vn alors vn+2 < vn+1 . (b) En déduire que la suite (vn )n 2. On définit la suite (un )n Montrer que lim un = 1 1 est convergente et calculer sa limite. un par u1 = a (avec a dans C) et un+1 = + 1 pour tout n n 1 1. n→∞ Exercice 7 Pour tout entier n 4 on considère les deux nombres entiers A(n) = 3n2 − n + 1 et B(n) = 2n − 1. Déterminer

faire : « pour i allant de 1 à n » et « 1,04s + 350 ». 2 l Entrée : Saisir un montant Initialisation : Affecter à la variable n la valeur 0 Affecter à la variable s la valeur 3 000 Traitement : Tant que s  1 donc lim un = +3. n→+3 e. sn = un – 8 750 donc lim sn = +3. n→+3 TP 2 Deux approximations du nombre e 1 l Entrée : Saisir n Initialisation : Affecter à la variable i la valeur 1 Traitement : Pour k = 1 à n Affecter à la variable i la valeur i + factorielle(k)

aire(M1 N1 HA) – aire(MNHA) = aire(MM1 N1 N) . h h b) aire(M1 N1 NP) = ------------ et aire(MNN1 P1) = -- , donc : x +h x h ------------ N S(x + h) – S(x) N h . -x +h x S(x + h ) – S(x ) -c) lim -------------------------------------- = 1 . h h→0 x 2. a) Résultat évident. b) Voir la question 1. S(1 + h ) – S(1) 3. lim + -------------------------------------- = 1 . h h→0 Travaux dirigés (page 129) TD 1 ln x est 1 telle que f ′(a) = -- . Donc la tangente Ta en A à a a pour équation : 1 1 y – ln a =

x1 xx est e A. 2 0 B. 1 C. 2 D. 3 3. lim x4 x x – 20 = 12 – 3 x A. x–4 0 2 B. –3 C. 3 D. –∞ 4. lim e 3 – x = x∞ A. 1 B. e – 4 3 C. 0 D. +∞ 5. Si : pour tout M 0 , il existe un réel A tel que, si xA alors f  xM on peut affirmer que A. lim f  x=∞ x∞ B. lim f  x=−∞ x∞ C. lim f  x=∞ x−∞ D. lim f  x=−∞ x−∞