Logarithme

Indication : Réponse : Utiliser la formule du binôme pour calculer . voir page 12 Réponse : voir page 11 voir page 12 2 PCSI 2 Lycée Pasteur 2010/11 3 Logarithmes et exponentielles Exercice 16. Simplier Il n'est pas question de donner ici les constructions des fonctions exponentielle et logarithme, qui feront l'objet d'un chapitre de cours, mais seulement de rappeler les principales règles de calcul : la fonction d'où Ecrire la fonction Enn pour tout réel est dénie

paramètres. Cependant, certaines relations non linéaires entre les variables peuvent être modélisées. Exemple 9 (Wooldridge, 2003): La droite de régression du logarithme du salaire sur le nibeau d’ éducation est égale à: \ log(SAL) = 0:584 + 0:083 EDUC R2 = 0:186 Exemple 10 (Wooldridge, 2003): La droite de régression du salaire des P.-D.G. sur le logarithme du chi¤re d’ a¤aire de leur entreprise est égale à: \ log(SAL) = 4:822 + 0:257 log(VENTES) R2 = 0:211 12 Modèle de régression linéaire simple

A0 . y∗ l’expression du log du PIB par tête ln Y (t) en fonction de s, δ, gL , gA L(t) 6. En vous servant de l’expression du PIB par tête calculée à la question précédente, représenter graphiquement l’évolution du PIB par tête (pris en logarithme) en fonc­ tion du temps. Quel est l’impact d’un accroissement du taux d’épargne à partir d’une date t0 sur cette évolution. Interpréter. Partie B : la dynamique transitoire 1. Poser z(t) = K(t) (capital par unité d’output). Montrer que zt vérifie

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 50 51 51 53 54 55 61 61 62 63 65 68 68 69 70 72 76 76 78 80 82 88 88 88 89 91 93 93 93 94 94 96 7 Logarithme 7.1 Construction . . . . 7.2 Propriétés . . . . . 7.3 Fonctions puissances 7.4 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

mathématiques poussées. Cependant, notre tutoriel se concentre sur des choses simples, et devrait être largement accessible : une connaissance des puissances et des racines (carrées) devrait suffire à être à l'aise. Un objet plus avancé, la fonction logarithme, sera présenté et expliqué avant son utilisation. Historique Ce tutoriel est en cours d'écriture. V ous l'avez déjà lu, et vous voulez savoir si quelque chose a été rajouté ? V un historique des modifications, les plus récentes en premier

sont présents. d[A ] α −( )0 = k[A ]0 [B]β 0 dt L’indice 0 signifie que ce sont les concentrations initiales. L’équation précédente peut se transformer en l’équation : ⎡⎛ d[A ] ⎞ ⎤ ln ⎢⎜ − ⎟ ⎥ = ln k + α ln[A ]0 + β ln[B]0 ⎣⎝ dt ⎠0 ⎦ Le tracé du logarithme népérien de la vitesse initiale en fonction de ln[A]0 donne une droite de pente égale à l’ordre partiel α. On peut déterminer β de la même manière en faisant varier [B]0. L’ordonnée à l’origine permettra d’atteindre ln k, donc la constante de vitesse

naturel n. Démontrer que pour tout entier naturel n, . 2. On se propose, dans la suite de l’exercice, d’exprimer un en fonction de n. On considère les suites v = (vn) et w = (wn) telles que, pour tout entier naturel n, et (ln désigne le logarithme népérien). a. Vérifier que pour tout entier naturel n, . b. Démontrer que la suite w est une suite géométrique. c. Exprimer, pour tout entier naturel n, wn puis vn en fonction de n et en déduire que : En déduire la limite de la suite

limite demandée est 8. n +1 0,75 0,5 1. 2. Rn = 7,75 . Le calcul des valeurs successives permet de conclure. R1 = 4 + 2 = 6 R2 = 6 + 1 = 7 R3 = 7 + 0,5 = 7,5 R4 = 7, 5 + 0, 25 = 7, 75 On peut aussi par le calcul, en utilisant le logarithme népérien, trouver la valeur de n cherchée : n = 4 . La quantité Rn demeure toujours inférieure à 8. 1 0,75 11PY-ISDRMAT-1 4/5 6 y 5 4 3 2 1 t O 1 2 3 4 5 6 11PY-ISDRMAT-1 5/5 

64 | 3,33 | 137,8 | 5 | 30 | 6,16 | 16,70 | 10,54 | 7,66 | 2,88 | 3,40 | 137,5 | Fig. 1 – Tableau des résultats de l’essai à la coupelle de Casagrande On trace le graphique correspondant à la teneur en eau pour chaque essai en fonction du logarithme du nombre de coups. Une courbe de tendance peut donc en ressortir ce qui permet de calculer la teneur en eau globale du sol. Fig. 2 – Courbe représentative de la teneur en eau pondérale La limite de plasticité moyenne est donc égale à y dans

productivité du travail. Si on admet que les entreprises fixent leurs prix par application d’un facteur de marge (ou de mark- up) sur les coûts salariaux par unité produite (W L/Q), on a Pt = mt (Wt Lt ). En passant l’écriture en logarithme : log Pt = log mt + log Wt + log(Lt /Qt ) = log mt + log Wt + log(Lt /Qt ) En dérivant l’expression ci-dessus par rapport aux temps (si y = f (t) est une fonction uniforme quel- conque de t on a alors d(log y) = 1 dy qui