Loi de Bernoulli

d’apprentissage   de test   Apprentissage de méta-paramètres Remarque  19 Evaluer les performances du modèle appris de validation   Mettre au point le modèle On fera en général l’hypothèse que toutes les données sont générées suivant une même loi Apprentissage Statistique - P. Gallinari Apprentissage supervisé  Ensemble d'apprentissage  Constitué de couples (entrée, sortie désirée)    , ,…, , But Au moyen d'un algorithme d'apprentissage, découvrir l’association utilisant les

´chantillon e e 2.10.5 Exemples 2.11 ALGORITHMES POUR LES PLANS SIMPLES SANS REMISE 2.11.1 M´thode du tri al´atoire e e 2.11.2 D’autres m´thodes fournissant un plan de sone dage de type PESR avec ´chantillons de taille n fix´e a e e priori 2.11.3 Tirage de Bernoulli 2 2.1 DEFINITIONS • Le nombre n de tirages ` effectuer dans la population a est fix´ a priori e • 2 proc´dures possibles de tirage al´atoire : e e a) n tirages au hasard avec remise : n tirages au hasard successifs et en repla¸ant l’unit´ selectionn´e

´echantillon 2.10.5 Exemples 2.11 ALGORITHMES POUR LES PLANS SIMPLES SANS REMISE 2.11.1 M´ethode du tri al´eatoire 2.11.2 D’autres m´ethodes fournissant un plan de sondage de type PESR avec ´echantillons de taille n fix´ee a priori 2.11.3 Tirage de Bernoulli 2 2.1 DEFINITIONS • Le nombre n de tirages `a effectuer dans la population est fix´e a priori • 2 proc´edures possibles de tirage al´eatoire : a) n tirages au hasard avec remise : n tirages au hasard successifs et en repla¸cant l’unit´e selectionn´ee

opérateurs sur les ensembles (union, intersection, complémentaire…) et utiliser les formules du cours qui correspondent. Dans le cas où on utilise les probabilités conditionnelles, il faut bien veiller à ne pas confondre les événements (A/B) et (A∩B). 2. Loi de probabilité d’une variable discrète X On doit dans tous les cas donner l’univers X (Ω) puis expliciter P (X = k) pour tout k de X (Ω). L’univers considéré ne doit jamais varier au cours de l’expérience aléatoire (cas classique des tirages sans remise)

Différents loi de répartition des données existent. Elles ont chacune leurs domaines d’applications (Loi Gaussienne, de Poisson, Gamma, Binomiale,…) - Des tests de validité des lois permettent de vérifier la pertinence de leur utilisation suivant les situations analysées. (Khi², Corrélation,…) - Des paramètres permettent de caractériser les lois, (Moyenne, Variance, Minimum, Maximum, Médiane,….) Le rôle du statisticien est de : - Récolter judicieusement les données d’une situation - Trouver la loi qui correspond

D’ASSURANCE SOMMAIRE INTRODUCTION  CHAPITRE I: FONDEMENTS THÉORIQUES DE L’ÉCONOMIE D’ASSURANCE o Théorie du risque et de l’incertitude o Théorie des choix financiers  o Théorie du capital humain CHAPITRE II: RÈGLES TECHNIQUES o Loi des grands nombres o Loi de la sélection o Loi de la division des risques CHAPITRE III: DISPOSITIF PRUDENTIEL o Marges de solvabilité o Contrôle de placements o Provisions techniques CHAPITRE IV: TYPOLOGIE D’ASSURANCES o Assurances gérées en répartition et assurances gérées en capitalisation

quantifier les préférences. On lui doit entre autre les courbes d'indifférences et la démonstration qu'elles suffisent pour déduire des fonctions de demande. - l'utilité s'applique-t-elle en situation d'incertitude? cette question remonte à Nicolas Bernoulli (1738) peut-on utiliser l'espérance mathématique pour mesurer l'utilité d'un individu dans un environnement incertain. Il montre que cela ne fonctionne pas avec un jeux de pile ou face (pondérance de saint : le joueur gagne 2€ si face apparaît au

Par convention, Z vaut 0 si toutes les réponses sont justes. Calculer la loi de Z. 3. Montrer que ∀ n > R, pn+1 = R−1∑ i=0 2 3i+1 pn−i. 4. Lorsque R = 2, expliciter la suite (pn)n∈N∗ . Exercice 2. [É.N.S.] ('19, 21) Soit s > 1. On note P = {p1, p2, . . .} l'ensemble des nombres premiers (p1 = 2, p3 = 3,. . . ) et ζ(s) = +∞∑ n=1 n−s. 1. Pour quelles valeurs de λ ∈ R, la suite (qn)n∈N∗ = (λn−s)n∈N∗ dé�nit- elle une loi de probabilité sur N∗ par l'intermédiaire de ∀ n ∈ N∗, P ({n}) = λn−s ? 2

aléatoires discrètes Moments et fonctions génératrices d’une v.a. discrète Couples de variables aléatoires discrètes. Indépendance Lois discrètes usuelles finies Lois discrètes usuelles infinies Variables aléatoires continues Loi normale ou de Laplace-Gauss Lois dérivées de la loi normale Lois continues Simulation d’une expérience aléatoire Convergences. Théorèmes limites. Approximations Vecteurs aléatoires gaussiens 27 33 37 44 48 56 62 68 72 80 85 90 97 99 105 Mathématiques L1/L2 : statistiques

90 et au début des années 20004, les Etats Unis ont adopté la loi Sarbanes Oxley Act (SOX). L'article 404 de cette loi exige que la Direction Générale engage sa responsabilité sur l'établissement d'une structure interne comptable et financier et qu'elle évalue, annuellement, son efficacité au regard d'un modèle de contrôle interne reconnu ; les commissaires aux comptes étant chargés de valider cette évaluation. Le 1er août 2003, la Loi sur la Sécurité Financière (LSR) promulguée en France était selon