Loi de Bernoulli

l’actuariat La profession actuarielle a vu le jour au milieu du XVIII° siècle au Royaume Uni, période d’essor simultané de l’assurance (création des premières compagnies d’assurances officielles par George I° en 1720) et de la statistique (travaux de Bernoulli, Galton, Gauss…). Mais l’actuariat, tel que nous le connaissons aujourd’hui, est né un peu plus tard avec la révolution industrielle, notamment les multiples formes d’assurances conçues pour réduire les risques. Au milieu du XIX° siècle, un "Institut

fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition d’une variable discrète Loi de Dirac Loi uniforme Loi binomiale ou loi des tirages avec remise Loi multinomiale Loi hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif Loi de Poisson Lois limites Résumé 6

peut être approchée par la loi de Y, c’est-à-dire la loi 3   normale   0, 25 ; .  1 600  Activité 1 1 a) Ensemble des valeurs prises par F : F (Ω) = { } k , k entier entre 0 et 100 . 100 1 Étant donné que la probabilité d’apparition du 1 est , on 4 25 est la valeur de F la plus probable. peut conjecturer que 100 b) X indique le nombre de succès dans un schéma de Bernoulli d’ordre 100 et de paramètre 0,25 ; donc, la loi de X est la loi binomiale (100 ; 0,25)

dans les modèles d’équilibre économique général : ▪ Loi de Walras. ▪ la quantité de monnaie va permettre de fixer un niveau absolu de richesse alors que dans la sphère réelle ce sont des prix relatifs qui sont déterminés (analyse dichotomique). ▪ Postulat d’homogénéité : rien ne change si on multiplie tous les revenus par deux et le niveau des prix par deux. ▪ Loi de Say : la demande excédentaire de monnaie est toujours nulle même

- la fibre supérieure est tendue; - la courbure est positive; - la courbure est négative; - la déformée est convexe. - la déformée est concave. dx dx 7 b) forme de la relation effort tranchant/moment de flexion: V=+ dM dx c) forme de la loi de comportement élastique en flexion: M = + EI d2w dx 2 I: moment d'inertie de la section; E: module d'élasticité (module d'Young). d) le repère indique le signes de la flèche et de l'effort tranchant. Il n'indique pas le signe du moment de flexion

indiquant le numéro de l’expérience aléatoire où l’on obtient pour la première fois un double six (c’est-à-dire où les deux dés donnent six). 1) Calculer la probabilité d’obtenir un double six si l’on lance une fois les deux dés. 2) Reconnaître la loi de X et la préciser. 3) Calculer l’espérance et la variance de X. 4) Ecrire un programme qui simule les lancers des deux dés jusqu’à ce que l’on obtienne un double six, et qui affiche la valeur prise par X. Partie B : Etude du temps d’attente pour

pesanteur, forces magnétiques). Remarque importante : Si un système 1 exerce sur un système 2 une A.M., alors le système 2 exerce sur le système 1 une A.M. exactement opposée. C’est ce que l’on appelle le principe des actions réciproques ou la troisième loi de Newton. Ex : une balle de tennis exerce sur la raquette une A.M. exactement opposée à celle qu‘exerce la raquette sur la balle. 2 - Une A.M. particulière : la Force 2.1 Définition Une force est l’action qu’exerce un solide sur un autre solide

pour la loi normale (0 ; 1) a. Vrai : il s’agit de l’aire sous la courbe de la densité de Z entre x = − 2 et x = 2 . b. Vrai : c’est un théorème du cours (cf. chapitre 7). c. Vrai : c’est un théorème du cours (cf. chapitre 7). d. Faux : P (Z 3) = P (Z − 3) donc : P (− 3 Z 3) = P (Z 3) − P (Z − 3) = P (Z 3) − P (Z 3) = = P (Z 3) − (1 − P (Z 3)) = 2 × P (Z 3) − 1 donc : 1 − P ( − 3 Z 3) P (Z 3) = 2 1 − 0,997 = ≈ 0, 0015 . 2 B Déterminer un intervalle de fluctuation à 95% à l’aide de la loi binomiale

le vent. Cette poussée est liée au fait que la pression diminue avec l'altitude ou augmente avec la profondeur. Il fallu attendre longtemps pour qu'on commence à s'intéresser au comportement des fluides en mouvement (seizième siècle). La loi de Bernoulli permet de comprendre comment la vitesse influe sur la pression, et partant de là, pourquoi on lifte les balles au tennis ou pourquoi les avions volent. La mécanique des fluides est toujours un sujet de recherche très actif, notamment parce

d’une fonction de répartition et lois discrètes Loi de probabilité d’une variable aléatoire Y fonction d’une variable aléatoire X Indépendance de deux variables aléatoires Moments d’une variable aléatoire 5 • Lois de probabilité discrètes 5.1 5.2 5.3 5.4 5.5 5.6 5.7 5.8 5.9 Définition d’une variable discrète Loi de Dirac Loi uniforme Loi binomiale ou loi des tirages avec remise Loi multinomiale Loi hypergéométrique ou loi du tirage exhaustif Loi de Poisson Lois limites Résumé 6 • Lois de probabilité