Loi de Bernoulli

Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S Polynésie juin 2004 E XERCICE 1 Commun à tous les candidats 4 points 1. X suit la loi de durée de vie sans vieillissement ou encore loi exponentielle de paramètre λ ; donc p(X > 10) = e−10λ = 0, 286 ⇐⇒ −10λ = ln 0, 286 ln 0, 286 . 10 La calculatrice donne λ = 0, 125 à 10−3 près. ou encore λ = − 2. 6 mois = 0,5 année. On a donc p(X 0, 061. 0, 5) = 1 − e−0,125×0,5 = 1 − e−0,062 5 ≈ 3. L’appareil ayant déjà fonctionné 8 ans, la probabilité qu’il ait une

: 𝐲 = 𝟓𝐱 + 𝟏𝟖 Question 2 : Réponse b Question 3 : Réponse d Question 4 : Réponse d Question 5 : Réponse c : La suite (𝐮𝐧) est ni arithmétique ni géométrique 7 Exercice 3 : probabilités-loi binomiale-convexité-fonction Les deux parties sont indépendantes. 1ère partie : A. 1) 2) On a P(J) = 0,2. On cherche 𝐏�̅� (J) P (J) = P (𝐑 ∩ 𝐉 ) + 𝐏( �̅� ∩ 𝐉 ) P(J) = P (R) × 𝐏𝐑

actif, le principe de fécondité et de vie, pour tout ce qui tient au développement de la raison et de l’esprit philosophique, ne se trouve pas dans la faculté d’abstraire, de classer et de généraliser. [p21 On rapporte que le grand géomètre Jean Bernoulli, chagrin de voir que son contemporain Varignon semblait vouloir s’approprier ses découvertes, sous prétexte d’y mettre une généralité que l’auteur avait négligée, et qui n’exigeait pas grands frais d’invention, disait malignement, en terminant un

trois derniers poissons pris pèse plus que le précédent ». Solution a) Les événements A et B ne dépendent pas de l’ordre dans lequel les poissons sont pêchés. Si l’on note pk la probabilité d’avoir k carpes (exactement) parmi les 4 poissons, on a une loi hypergéométrique H(4, 3, 10). En effet si l’on prend pour Ω les ensembles de 4 poissons pris parmi 10, on a |Ω| = 10 . 4 Si Ak est formé des ensembles contenant k carpes, on choisit k carpes parmi 3, et 4 − k tanches parmi 7, donc 3 7 |A| = , k 4−k

branches qui conduisent à un gain on obtient : 5 9 1 5 + 9 14 7 1 × + × = = = . p(G) = 10 6 10 6 60 60 30 23 2. On a p G = 1 − p(G) = . 30 1 1 p G∩B ×1 1 30 1 × = . Il faut trouver p G (B) = = 1023 6 = 60 = 23 60 23 46 p G 30 30 3. On a une épreuve de Bernoulli avec n = 4 et p(G) = 2 2 7 . 30 La probabilité de gagner exactement deux fois sur quatre parties est : 4 2 7 30 × 1− 7 30 = 25921 6 × 72 × 232 = ≈ 0, 192(0). 4 30 135000 n 0 4. La probabilité de ne gagner aucune partie sur n jouées est La

 alors p  A  =p  A  B1  +p  A  B 2  +...+p  A  B n  Variable aléatoire : somme des valeurs de la loi de probabilité = 1 n Espérance mathématique : E  x    pi xi i 1 Fonction de répartition : F x   P  X  x  2 Variance : V  x    pi  xi  E  x     pi xi2   E  x   i 1 i 1 n 2 n Ecart-type   X   V  X  k Bernoulli : X= nombre de réalisations de A sur n épreuves, P(A)=p, alors : P( X  k )  Cn p k (1  p)n  k Algèbre : Nombres

de ces étapes, de déterminer le meilleur service qu’un joueur devrait effectuer. 2. MODELISATION MATHEMATIQUE DU MOUVEMENT DE LA BALLE Le principe de base à utiliser pour écrire l’équation différentielle du mouvement de la balle de tennis est la loi de Newton : l’accélération d’un objet de masse m est égale à la somme des forces appliquées sur l’objet divisé par la masse de l’objet. x  F  m  i 1 i n Considérons une balle de tennis, de masse m, de diamètre d, se déplaçant dans un

relation proportionnel directe ou inverse. D'une manière générale, la plupart des liaisons proportionnelles invoquées par des auteurs classiques ont été démenties par les évènements, qu'il s'agisse de la théorie quantitative de la monnaie ou de la loi des débouchés. Quant aux variations des prix en fonction des quantités demandées ou offertes, elle ne sont rien moins que rigoureusement proportionnelles: les valeurs très diverses prises par les coefficients d'élasticité-prix de la demande ou de l'offre

avec remise (on tire une boule au hasard, on note sa couleur, on la remet dans l’urne et on recommence). 1 2 Proposition 1 : « La probabilité de tirer exactement 3 boules blanches est 3 ×   ×   » 3 3 2. Une variable aléatoire X suit la loi exponentielle de paramètre λ ( λ > 0 ). On rappelle que pour tout réel a > 0 : p ( X ≤ a ) = a 0 3 7 ∫ λ e− λ t dt . ln 2 .» Proposition 2 : « Le réel a tel que p ( X > a ) = p ( X ≤ a ) est égal à 3. Soit le nombre complexe z = 1

Définition…..………………………………………………………….……………………………...4 2.1.1. Approche empirique………………………………………………..…………….4 2.1.2. Approche théorique …………………………………………………………….5 2.2. Loi de probabilité de la moyenne……………….…………………………………...6 2.2.1. Définition…………………………………………………………………………...….6 2.2.2. Convergence …………………………………………………………………....….7 2.3. Loi de probabilité d’une fréquence……………….…………………………….....8 3. Estimateur………………………………………………………………………………....8 3.1. Définition…..………………………………………………………….………………………..…..