Loi exponentielle

II. LOI DE POISSON .................................................................................................................................... 4 III. LA LOI EXPONENTIELLE.................................................................................................................... 6 IV. MANQUE DE MEMOIRE DE LA LOI EXPONENTIELLE .............................................................. 7 V. RELATION DE DUALITE ENTRE LES LOIS DE POISSON ET EXPONENTIELLE .....

. . . . . . . . e 2.2 Cadre d’analyse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.3 Th´or`me de Fisher-Tippet-Gnedenko . . . . . . . . . . . . . . e e 3 D´tection des outliers dans le cas d’une queue de distribution e ` d´croissance exponentielle a e 3.1 Test d’hypoth`se . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 3.2 Puissance du test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Estimateurs de an et bn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 D´tection des outliers

s’int´resse au nombre de trains par heure circulant sur cette ligne. e Soit Xi le nombre de trains passant pendant la i-`me heure dans la gare Nanterre-Universit´ e e (i = 1 . . . n). On suppose que les Xi sont ind´pendantes et identiquement distribu´es de loi de e e Poisson de param`tre λ i.e. ∀x ∈ N, e P (Xi = x) = e−λ λx x! On rappelle que si X ∼ P(λ) alors E[X] = λ et V [X] = λ. On note x1 , . . . , xn les observations obtenues par l’association d’usagers. 1. Montrer que la vraisemblance des observations

p(B)  Variable aléatoire   ( Ω , P   ( Ω ),p) est un espace probabilisé fini  Soit X une variable aléatoire définie sur  Ω   On note X( Ω ) L’ensemble image de  Ω par X   { } X( Ω ) =   x1 , x 2 , x 3 ,..., x p −1 , x p  ;  p ∈ ∗   On appelle loi de probabilité de X l’application  p X : Ω → [ 0, 1] x → p(X=x i )       Conséquence  Si X une variable aléatoire définie sur  Ω  tel que   { } X( Ω ) =   x1 , x 2 , x 3 ,..., x p −1 , x p  ;  p ∈ ∗ p  alors  ∑ p(X = x ) = 1   i =1 i Espérance mathématique d’une variable aléatoire X 

discrète si ?(Ω) = {?1 , ?2 , … , ? ? } où {?1 , ?2 , … , ? ? } est l’ensemble des valeurs prises par ?. Définition : "Loi de probabilité d’une variable aléatoire réelle discrète" Soit ? une variable aléatoire réelle discrète définie sur un univers Ω. L’application de ?(Ω) = {?1 , ?2 , … , ? ? } vers [0,1] notée ? ? , qui à tout ? ? associe ?(? = ? ? ) est appelée loi de probabilité de ?. Définition : "Fonction de répartition d’une variable aléatoire" Soit ? une variable aléatoire réelle

un événement de probabilité non nulle. Notation ( ). Indépendance de deux événements. Notions de lois à densité. Loi à densité sur un intervalle. Loi Uniforme sur [ ; ]. Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi uniforme. Lois Exponentielles. Espérance d’une variable aléatoire suivant une loi exponentielle. Loi Normale centrée réduite, Théorème de Moivre-Laplace (admis). Loi Normale ( , ). CAPACITES ATTENDUES • Construire un arbre pondéré en lien avec une situation donnée. • Exploiter la

Déterminer la loi de probabilité de X.(0,5 pt) La variable aléatoire X correspond au nombre de fois que Claude est contrôlé au cours des 40 trajets. Les valeurs possibles de X sont : {0 ; 1 ; 2 ; … ; 40} X suit la loi binomiale de paramètres n = 40 et p. Pour tout nombre entier k[pic]{0 ; 1 ; 2 ; … ; 40}, on a : P(X=k) = [pic][pic] p k [pic] (1 – p) 40 – k 2) Dans cette partie on suppose que p = [pic] . a) Calculer l’espérance mathématique de X. (0,25 pt) Comme X suit la loi binomiale

Correction  sujet  BTS      Partie  A  :    L’ensemble de solutions de l’inéquation /(x) ≤ 3,5 est 5,3  ;10 .  Partie  B  :    1. a. g est de la forme 5 − e donc sa dérivée est –u′e .  u = −0,2x + 1   donc u = −0,2 donc g x = − −0,2 e 0,2 = 0,2e 0,2  b. La fonction exponentielle est positive sur R et 0,2 est positif donc g′ est positive sur R donc  sur 1  ;10 .  2. Tableau de variations de g  :  x 1 10 g′(x) +  g  4,63  2,77  3. a. Tableau de valeurs de g  :  x 1 2 3 4 5 6 8 10 g(x) 2,77 3,18 3,51 3,78 4 4,18 4,45 4,63 

Introduction La loi normale (ou de Laplace-Gauss) est la loi de certains phénomènes continus qui fluctuent autour d’une moyenne , de manière aléatoire. La dispersion des valeurs observées d’un même caractère gaussien est représenté par un écart type . L’objectif de ce projet est d’étudier et de simuler la loi normale centrée réduite c’est à dire la loi normale avec les paramètres et . Pour cela, on a étudié différents algorithmes fondés sur le théorème central limite, sur la méthode

de l’approche bayésienne est le calcul de la loi a posteriori. Ce calcul est facilité lorsque loi a priori et loi a posteriori ont la même forme. Dans ce cas, on parle de loi a priori conjuguée. Définition 9 – Une famille F de lois sur Θ est dite conjuguée si, pour tout π appartenant à cette famille, la loi π(θ/x) appartient également à celle-ci. Dans ce cas, le praticien induit directement la forme de son estimateur dès qu’il a choisi sa loi a priori. Exemples de lois conjuguées f (x/θ)