Loi normale

… , ε T ont une moyenne nulle, c’est-à-dire Ε(ε t ) = 0 ∀t = 1, … , T (H3) homoscédasticité : Var (ε t ) = σ 2 ∀t = 1,…, T (H4) non autocorrélation : Cov(ε t , ε t ' ) = 0 ∀t ≠ t ' (H5) normalité : les erreurs sont distribuées suivant une loi normale. - sur les variables explicatives : (H6) les variables X1, X2, X3, …, Xp sont non aléatoires. Néanmoins la théorie se généralise facilement pour des variables aléatoires. (H7) exogénéité : les variables X1, X2, X3, …, Xp sont indépendantes du terme

définir la loi de probabilité de sa demande qui, le plus souvent, est une loi normale. Elle peut, par exemple, calculer la probabilité de réaliser ses objectifs de vente ou d'atteindre le seuil de rentabilité. Ce calcul de probabilité renvoie à l'utilisation de la loi normale par le calcul de la valeur de la variable centrée réduite t = (X – m) / (, X représentant le plus souvent la demande. Exemple : Les ventes annuelles en quantités (Q) des planches à voile Junior suivent une loi normale de moyenne

œuvre sur Excel : La moyenne étant connue, il suffit de calculer E(X²) à l’aide de la fonction « sommeprod ». =SOMMEPROD(pi ;xi ;xi) 3 L’écart-type C’est un indicateur qui permet de caractériser une loi. En effet, les lois sont définies par une moyenne et un écart-type (exemple : la loi Normale). Elle est notée σ et se calcule de la manière suivant : [pic] |paramètres statistiques |Age | |la moyenne |42 | |la variance

avec une probabilité q = 0,5 . Le nombre X d’élèves utilisant quotidiennement l’ordinateur suit donc la loi binômiale B ( 64;0,5) . 2) a) On a : m = n × p = 64 × 0,5 = 32 et σ = npq = 64 × 0,5 × 0,5 = 4  Y − 32 36,5 − 32  b) p (Y ≤ 36,5) = p  ≤  = p (T ≤ 1,12 ) 4  4  p (Y ≤ 36,5) = 0,869 . où T suit la loi normale N ( 0;1) . Par lecture dans le tableau des valeurs de la loi normale centrée réduite : Π (1,12 ) = 0,8686 . Donc : Troisième partie 10 1) p ( X ' = 10 ) = C100 × 0,110 ×

(supposée normale) de la distribution conditionnelle des résidus, à condition que la loi spécifiée appartienne à la famille des lois exponentielles (Gouriéroux et Montfort, 1989). Ainsi, l’estimateur du MV obtenu sous l’hypothèse de normalité des résidus et l’estimateur du PMV sont identiques, seules leurs lois asymptotiques respectives diffèrent. Toutefois dans les deux cas (MV ou PMV), sous les hypothèses standards, l’estimateur est asymptotiquement convergent et asymptotiquement normal. Considérons

un espace de probabilité. Dénition 1.1. Un processus stochastique B(t, ω) est appelé mouvement Brownien s'il satisfait les conditions suivantes : 1. P {ω; B(0, ω) = 0} = 1. 2. pour tous 0 ≤ s < t, la variable aléatoire B(t)−B(s) suit une loi normale centrée de variance t − s, i.e. pour tous a < b, P (a ≤ B(t) − B(s) ≤ b) = 1 2π(t − s) a b e−x 2 /2(t−s) dx. 2 3. B(t, ω) a des incréments indépendants, i.e., pour tous 0 ≤ t1 < t2 < ... < tn , les variables aléatoires B(t1

exercice, les résultats seront donnés à 10−3 près. 5 points 1. Une étude interne à une grande banque a montré qu’on peut estimer que l’âge moyen d’un client demandant un crédit immobilier est une variable aléatoire, notée X , qui suit la loi normale de moyenne 40, 5 et d’écart type 12. a. Calculer la probabilité que le client demandeur d’un prêt soit d’un âge compris entre 30 et 35 ans. b. Calculer la probabilité que le client n’ait pas demandé un prêt immobilier avant 55 ans. 2. Dans un slogan

probabilités associées aux différentes branches ? 2. Quelle est l’espérance mathématique, l’écart-type et le coefficient de variation des VAN possibles ? 3. A supposer une distribution normale des VAN, quelle est la probabilité que la VAN de ce projet soit inférieure à zéro ? Annexe : Table de la loi normale centrée réduite Fonction de répartition F(z)=P(Z

818. p(M) 0,165 Partie B Un produit de nettoyage conditionné dans des flacons est aussi vendu par le magasin. Le volume de produit contenu dans un flacon, en millilitres (mL), est modélisé par une variable aléatoire V . On admet que V suit une loi normale d’espérance 250 et d’écart type 5. Pour procéder à un contrôle, on prélève un flacon au hasard dans le stock du magasin. 1. Donnons la probabilité que le volume de produit contenu dans le flacon prélevé soit compris entre 240mL et 260mL. p (240

à la vente du produit. Les prix de ces produits sont fixés à partir de ceux des titres qui les composent. Les prix sont des variables très aléatoires, ils changent suivant le produit. Ces variables suivent la loi de Gauss, caractérisée par deux paramètres. Cette loi aussi nommée « loi normale » est très célèbre et très souvent utilisée car elle résume plusieurs distribution statistiques observées. La représentation graphique de sa fonction de densité, continue et symétrique, présente une forme simple