Loi normale

tubes défectueux dans le prélèvement. a) Justifier que X suit une loi binomiale de paramètres 10 et 0,03. b) Déterminer la probabilité P (X = 1). c) Déterminer la probabilité que, parmi les 10 tubes, un tube au moins présente un défaut. 2. On prélève 300 tubes dans la production. On décide d’approcher la variable aléatoire donnant le nombre de tubes défectueux dans le prélèvement par la variable aléatoire Y qui suit la loi normale d’espérance 9 et d’écart type 3. a) Déterminer la probabilité que

ci-contre a les fiabilités élémentaires suivantes pour 1000 heures : Ra=0,90 ; Rb=Rc=0,81 ; Rd=Re=Rf=0,66 ; Rg=0,93 Calculer la fiabilité et le taux de défaillance de l’ensemble. Exercice 2 : Deux chariots travaillent en redondance active. Leur loi de durée de vie est du type. La MTBF d’un chariot est de 54 heures. Quelle est la fiabilité du système au bout de 16 heures ? Exercice 3 : Sur une série de 150 nouveaux capteurs mis en fonctionnement, on a relevé les TBF suivants : Intervalle de

fréquence observée d'apparition du nombre "six" tend vers la probabilité théorique. C'est une question essentielle à résoudre pour les problèmes de modélisation. De Moivre montre en particulier que la loi binomiale tend, en un certain sens, vers la loi normale (ou loi de Laplace-Gauss), la fameuse loi "à la courbe en cloche". De Moivre s'intéresse aussi aux applications pratiques des probabilités et statistiques. Il dresse ainsi des tables de mortalité précises, et donne des formules qui permettent

Doctorale de Mathématique "Lois normales multidimentionnelles" Dr. Meghlaoui Dakhmouche Table des matières 1 Introduction 1.1 Loi de Gauss à une dimension . 1.1.1 Propriétés . . . . . . . . 1.1.2 Moments particuliers . . 1.1.3 Fonction caractéristique 1.1.4 Loi normale quelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 Lois de Gauss bidimensionnelles 2.1 Loi de Gauss bidimensionnelle centrée

Utilité des Statistiques Les objectifs - Avoir une idée du comportement d’un événement ou de la valeur normale d’une donnée. - Décrire et estimer la valeur des paramètres et déterminer des critères de décisions. - Prévoir et éventuellement expliquer un comportement ou une donnée. Les moyens - Différents loi de répartition des données existent. Elles ont chacune leurs domaines d’applications (Loi Gaussienne, de Poisson, Gamma, Binomiale,…) - Des tests de validité des lois permettent de vérifier la

sur les lois : 4-1Loi normale : F(x)=[1/(∑√ 2π)] e -1/2*(x-m/E)² π=3.1415 e=2.71828 m : espérance E: écart type 4-2 Loi normale centrée réduite : F(t)= [1/(√ 2π)] e -t²/2 4-3 Loi de CHI-DEUX X²n = T²1+T²2+…+T²n Avec T N(0,1) T² N(0,1)² X²n est une loi de CHI DEUX a n degré de liberté U2 : X²1 = N² (0,1) 4-4 Loi de Fischer On fait le rapport (X²n1/n1)/( X²n2/n2) = (n2 *X²n1)/(n1* X²n2 ) = f(n1;n2) Pr. A.Amine 6 Statistique approfondie f(n1;n2) est une loi de Fischer snedecor à

pas le reporter sur la copie (sauf si on a du temps de reste). Ce travail prend beaucoup de temps et ne rapporte aucun point. DESCF 2006 1 Corrigé commenté DESCF 2006 2 Corrigé commenté Question 1.2 – Calcul des paramètres de la loi de probabilité de la variable aléatoire « durée du projet » La lecture de l’annexe 2 (tableau A) montre que certaines tâches ont une durée certaine (A3 et C9). Les autres, et en particulier celles qui forment le chemin critique ont une durée aléatoire

la régression : L.I.N.E : Linéarité : La relation entre X et Y est linéaire Indépendance des erreurs : Les valeurs de l’erreur sont statistiquement indépendantes Normalité de l’erreur : Les valeurs de l’erreur sont distribuées selon la loi Normale pour toute valeur de X Égalité de la variance (appelée aussi homoscedasticité) La distribution de probabilité des erreurs a une variance constante Précisions à propos des hypothèses : Les valeurs estimées b0 et b1 (ou “hat” values) sont

construire une « fourchette de valeurs numériques permettant de situer » θ avec une probabilité 1 − α 1 − α = Pr ob[θ1 < θ < θ 2 ] La démarche comprend deux étapes : • avant le tirage d’un échantillon de taille n, un estimateur θˆ a été choisi et la loi de • après tirage, la valeur particulière t de θˆ calculée à partir des données de l’échantillon permet de déterminer les bornes g1( t ) et g2 ( t ) de l’intervalle de confiance recherché. [ ] probabilité de θˆ permet de construire un intervalle

notations suivantes : n : nombre total d'observations n1 : le nombre de symboles + n2 : le nombre de symboles k : le nombre runs Si les réalisations successives sont indépendantes et si n1 > 10 et n2 > 10, le nombre de runs converge vers une distribution normale avec : - - 2n1 n2 + 1 n1 + n 2 2n n (2n n − n1 − n2 ) σ k2 = 1 2 1 2 (n1 + n2 ) 2 (n1 + n2 − 1) E (k ) = On construit alors aisément un test d'hypothèse (ou un intervalle de confiance) pour juger de la probabilité d'observer le nombre de