Loi normale

(Voir TD ) 3.6. Mod`les probabilistes continue e Dans tout ce chapitre, X d´signe une v.a.r. absolument continue. On note f sa densit´ de e e probabilit´ et F sa fonction de r´partition. e e 3.6.1. Loi uniforme Definition: Soit a, b ∈ R avec a < b. On dit que X suit une loi uniforme sur l’intervalle [a, b] si sa densit´ f e est d´finie par e  1  si a ≤ x ≤ b  b−a fX (x) =   0 si sinon On note en abr´g´ X ∼ U([a, b]) e e Remarque: On a bien +∞ f (x)dx = −∞ 1 b−a b

peuvent être traitées indépendamment Partie A Étude de la durée de vie d’un appareil électroménager Des études statistiques ont permis de modéliser la durée de vie, en mois, d’un type de lave-vaisselle par une variable aléatoire X suivant une loi normale N µ, σ2 de moyenne µ = 84 et d’écart-type σ. De plus, on a P (X 64) = 0, 16. La représentation graphique de la fonction densité de probabilité de X est donnée ci-dessous. 16 % 10 20 Pondichéry 30 40 50 60 64 70 80 90 2 100 110 120

Lycée A. Argouges - Grenoble Probabilités ? V.A.R. continues Casio La variable aléatoire X suit la loi normale N 20, 5 . 1. Calculer, avec une précision de 10–4 les probabilités suivantes : P  X 28 ; P  X 12 ; P 12 X 28 . 2. Déterminer à 10–2 près le nombre réel x tel que P  X x =0,99 . 3. Tracer la densité de probabilité de la loi normale N 20, 5 . ? * Fonction Ncd  Lower : borne inf ,Upper : borne sup ,∈ℝ + ,∈ℝ Probabilité des événements  X  x  et  X  x  Dans

Loi normale Probabilités ? TI-82 Stats.fr On suppose que la masse (en kg), d'un bébé à la naissance suit la loi normale de paramètre m = 3,35 et ² = 0,1089 1°) Déterminer la probabilité qu'un bébé pèse à la naissance entre 3 kg et 4 kg (arrondie au millième) 2°) a) Déterminer la probabilité qu'un bébé pèse à la naissance moins de 3 kg (arrondie au millième) 2°) b) Déterminer la probabilité qu'un bébé pèse à la naissance plus de 4 kg (arrondie au millième) 3°) Déterminer la masse tel que la probabilité

Lois normales et autres lois dérivées 1 - Lois normales a) - Définition et , notée N ( ; ), On dit qu'une variable aléatoire réelle X suit la loi normale (ou gaussienne) de paramètres 1 t– si elle admet pour densité la fonction f définie sur IR par f(t) = Si = 0 et – 1 e 2 2 2 . = 1, on dit que X suit la loi normale centrée, réduite. Remarque Les lois normales interviennent très souvent et en particulier lorsque le phénomène étudié est la résultante de nombreuses composantes aléatoires (commerce

variable aléatoire donne le nombre de cônes défectueux et on suppose que les 2 000 tirages sont indépendants les uns des autres. De plus, la probabilité qu’un cône soit défectueux est de 0, 003. On peut donc dire que la variable aléatoire X suit la loi binomiale de paramètres n = 2000 et p = 0, 003. 2. Si un client reçoit un lot contenant au moins 12 cônes défectueux, l’entreprise procède alors à un échange de celui-ci. L’événement « un lot n’est pas échangé » se produit quand le nombre de cônes

Format de la courbe et des points 56 Police de caractères : 57 Calculs de corrélation : 57 Cas particulier : droite d'ajustement de Mayer 57 Probabilités 58 Loi binomiale 58 Loi de Poisson 60 Loi normale (ou loi de Laplace-Gauss) 61 Intervalle de confiance 63 Fonction de répartition d’une loi normale 64 Suites numériques 65 Suites de la forme un = f(n) 65 Suites définies par une relation de récurrence un = f (un–1) 66 Représentation graphique d’une intégrale 68

Remarque : On constate que l’amplitude des classes influence sur l’allure de la fdp. On choisit comme fdp celle donnée par le logiciel HYFRAN pour considérer notre échantillon suit une loi Gaussique.  La courbe expérimentale correspondante est : 1.2 Phase scientifique Dans cette phase on cherche la loi de probabilité qui peut décrire de la meilleure façon notre échantillon.  Ajustement numérique : Traçage de la droite d’Henry : La moyenne : = L’écart type: S=213, 74 mm.  X(F) = +u(F)*S

probabilité :     Identifier et manipuler les variable aléatoires; Reconnaître les distributions de probabilités discrètes et continues ; Définir et expliquer les espérances et les variances; Définir et expliquer les lois d'usage courant (binomiale, normale, ...). En statistique :    Reconnaître les principales distributions d'échantillonnages; Définir et expliquer les notions d’intervalles de confiance; Définir et expliquer les notions de tests d'hypothèses. Documents pédagogiques 2 OBJECTIFS

Elhattab (ENCG) Variables continues 2011 - 2012 1 / 28 Sommaire 1 Loi d’une v.a. continue 2 Fonction de répartition 3 Moments d’une v.a. continue 4 Quelques lois usuelles continues 5 Loi uniforme 6 Loi normale 7 Loi exponentielle I. Elhattab (ENCG) Variables continues 2011 - 2012 2 / 28 Loi d’une v.a. continue Loi d’une v.a. continue I. Elhattab (ENCG) Variables continues 2011 - 2012 3 / 28 Loi d’une v.a. continue Soit X une variable aléatoire dont les valeurs possibles