Loi normale

une machine produit des barres de métal. Dans cette partie on étudie la longueur de ces barres. On définit la variable aléatoire X qui, à chaque barre, associe sa longueur exprimée en centimètres et on admet que la variable aléatoire X suit une loi normale de moyenne m=92,50 et d’écart type σ. Une barre de la production est mise au rebut si sa longueur est inférieure à 92,20 cm ou supérieure à 92,80 cm. 1. On suppose que σ=0,20. a) Calculer la probabilité qu’une barre extraite au hasard dans la production

Connaît-on la variance ? NON OUI On estime: On considère On doit supposer la normalité de la variable mesurée (Xi~N(μ,σ)) On estime: On considère Comparé à εα Comparé à εα (Table loi normale) (Table loi normale) OUI On considère On considère Comparé à tαn-1 (Table loi student n-1 ddl) Comparé à εα (Table loi normale) B) Comparaison à une proportion théorique Exemple du début du cours: Maladie qui tue p0 = 50% des souris sans traitement Traitement testé sur 40 souris ⇒ 23 survivantes Effet

ci-contre a les fiabilités élémentaires suivantes pour 1000 heures : Ra=0,90 ; Rb=Rc=0,81 ; Rd=Re=Rf=0,66 ; Rg=0,93 Calculer la fiabilité et le taux de défaillance de l’ensemble. Exercice 2 : Deux chariots travaillent en redondance active. Leur loi de durée de vie est du type. La MTBF d’un chariot est de 54 heures. Quelle est la fiabilité du système au bout de 16 heures ? Exercice 3 : Sur une série de 150 nouveaux capteurs mis en fonctionnement, on a relevé les TBF suivants : Intervalle de

at Probabilités et Statistique Cours - TD ENSICA 2ème année 2005/2006 Introduction La théorie des probabilités procède selon une méthode qui s’apparente à la démarche déductive. Connaissant la loi d’une variable ou d’un vecteur aléatoire, on sait calculer les valeurs exactes des paramètres qui la caractérisent, comme l’espérance ou la variance, et déterminer les lois de nouvelles variables ou vecteurs aléatoires fonction de la variable ou des vecteurs aléatoires donnés ainsi que les limites

La loi normale Ne pas hésiter à faire un graphique pour faciliter les calculs. Déterminer, à l’aide d’Excel, les probabilités suivantes : 1) Si X suit une loi N (0;1) calculer : Quelle est la probabilité que je choisisse un jour où la température était inférieure à 1 ? P(X inférieur ou égal à 1) = 0,96 P(X supérieur ou égal à 3)= 1 – P(X inférieur ou égal à 3) = 0,002 P(2≤X≤3)= P(X≤3) – (P(X≤2)= 0,9986 – 0,979 = 0,021 2) Déterminer a pour que : P(X≤a)=0,75, à partir de la loi normale

suit approximativement la loi normale N(m ; σ n ) 2.2 Loi de Mn X variable aléatoire définie sur Ω avec : E(X) = m et V(X) = σ2. Soit Mn, la VA. qui, à tout échantillon de taille n, associe la moyenne des valeurs de X sur celui-ci alors Mn a pour espérance m, et pour écart type Soit E(Mn) = m et σ(Mn) = σ σ n n De plus si X suit une loi normale, ou si n ≥ 30, alors : Année Universitaire 2010-2011 Semestre 3 1 Mn suit un loi normale.N(m , σ n )

aléatoires discrètes Moments et fonctions génératrices d’une v.a. discrète Couples de variables aléatoires discrètes. Indépendance Lois discrètes usuelles finies Lois discrètes usuelles infinies Variables aléatoires continues Loi normale ou de Laplace-Gauss Lois dérivées de la loi normale Lois continues Simulation d’une expérience aléatoire Convergences. Théorèmes limites. Approximations Vecteurs aléatoires gaussiens 27 33 37 44 48 56 62 68 72 80 85 90 97 99 105 Mathématiques L1/L2 : statistiques et

la taille d'un adulte est modélisée par une loi normale).  On veut tester une hypothèse plus particulière, dite hypothèse H0, inspirée par la réflexion ou l'examen des données (par exemple la taille moyenne des hommes et celle des femmes sont-elles égales ?)  Pour ce faire, on détermine une certaine grandeur, ou statistique, dérivée des grandeurs initiales et calculable sur les observations, dont on connaît - au moins de manière approximative - la loi de distribution lorsque H0 est vraie, (par exemple

Définition…..………………………………………………………….……………………………...4 2.1.1. Approche empirique………………………………………………..…………….4 2.1.2. Approche théorique …………………………………………………………….5 2.2. Loi de probabilité de la moyenne……………….…………………………………...6 2.2.1. Définition…………………………………………………………………………...….6 2.2.2. Convergence …………………………………………………………………....….7 2.3. Loi de probabilité d’une fréquence……………….…………………………….....8 3. Estimateur………………………………………………………………………………....8 3.1. Définition…..………………………………………………………….………………………..…..

réponse(s) juste(s) A) La variable étudiée est une variable qualitative discrète. B) Quand une variable X suit une loi Normale, le mode, la médiane et l'écart-type sont égaux. C) La moyenne d'années de vie gagnée est égale à 14 années. D) La variance ( Var(X) = s  X 1 / 2 ) est égale à 17,5 années². E) En faisant l' hypothèse que le nombre d' années de vie gagnées suit une loi normale N(m,s) la probabilité de gagner plus de 17,5 années de vie est d' environ 16 %. QCM 2 : Cochez la ou les réponse(s)