Loi normale

statistique d’écart type. L’écart-type d’une population (un ensemble de résultats) correspond à la mesure de la dispersion des données récoltées. Plus un écart type est faible, plus la population est homogène. Sur une courbe de distribution suivant la loi normale (figure 1), l’approche Six sigma utilise la probabilité d’obtenir à chaque fois un résultat à l’intérieur de 6 fois l’écart-type. Cela signifie que l’on vise à avoir 99,9997 % des résultats à l’intérieur d’une limite inférieure et supérieure

donn´es X = {x t }N o` x t ∼ p(x) e t=1 u Variable ind´pendante et identiquement distribu´e (iid) e e Estimation param´trique e Famille de densit´s de probabilit´ p(x|θ) e e Estimation θ : les statistiques suffisantes de la densit´ e Avec une loi normale N (µ, σ 2 ), θ = {µ, σ} Estimation de θ ` partir de X a GIF-4101 / GIF-7005 (U. Laval) M´thodes param´triques e e C. Gagn´ e 2 / 32 Vraisemblance d’une estimation Vraisemblance d’une estimation param´tr´e par θ e e N l(θ)

vélo On suppose dans cette partie que l’élève utilise le vélo pour se rendre à son lycée. Lorsqu’il utilise le vélo, on modélise son temps de parcours, exprimé en minutes, entre son domicile et son lycée par une variable aléatoire T qui suit le loi normale d’espérance µ = 17 et d’écart-type σ = 1,2. 1. Déterminer la probabilité que l’élève mette entre 15 et 20 minutes pour se rendre à son lycée. 2. Il part de son domicile à vélo à 7 h 40. Quelle est la probabilité qu’il soit en retard au lycée

. . . . . . 3. Variance . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Covariance et corrélation . . . . . . . . 5. Fonction de répartition conjointe . . . 6. Formule de Bayes . . . . . . . . . . . . 7. Règle de calcul des espérances . . . . . 8. Loi Gaussienne ou normale . . . . . . 9. Estimation . . . . . . . . . . . . . . . . 9.1. Principes, méthode de moments 9.2. Moindres carrés ordinaires . . 9.3. Maximum de vraisemblance . . 2 7 7 7 8 9 9 10 10 11 11 11 13 14 17 17 20 22 25 27 28 31 35 35 37 37 43

mobile à 10 jours nécessitera 1,5 écart type, et une moyenne mobile à 50 jours, 2,5 écarts types. Une grande partie de l'analyse de John Bollinger se porte sur la corrélation entre l'évolution d'un cours boursier avec une loi dite normale. Tout phénomène qui évolue selon une loi normale voit tous ses éléments se situer à 95% dans une enveloppe comprise entre deux écarts types. Si l'évolution des cours boursiers suit le même schéma, on sait par avance qu'il y a 95% de chance que l'évènement (le cours)

de maintenance effectue des vérifications et décide, ou non, d’intervenir. Le volume d’eau (exprimé en m3) contenu dans le bassin, à la fin d’une journée d’exploitation de cette attraction, est modélisé par une variable aléatoire X suivant une loi normale d’espérance = 160 et d’écart type = 5. 1. a) Calculer (150 ≤ ≤ 170). b) En déduire la probabilité que l’équipe de maintenance soit obligée d’intervenir pour respecter les normes de sécurité. 2. Quelle est la probabilité que l’équipe de maintenance

espérances partielles (gestion de stock). II. Fonctions de variables aléatoires. 2.1. Changement de variables (cas univarié). 2.2. Changement de variables (cas multivarié). 2.3. Fonction génératrice des moments. 2.4. Fonctions de variables normales (Chi-carré, Student, Fisher). III. Estimation ponctuelle 3.1. Echantillon aléatoire, estimateur, estimation. 3.2. Fonction de vraisemblance. 3.3. Maximum de vraisemblance. IV. Propriétés des estimateurs 4.1. Estimateur sans biais

. . . . . . . . e 1.2.1 Espaces et axiomes . . . . . . . 1.2.2 Ind´pendance . . . . . . . . . . e 1.2.3 Probabilit´ conditionnelle . . . e 1.3 Variables al´atoires . . . . . . . . . . . e 1.3.1 Fonction de distribution . . . . 1.3.2 Distribution Normale . . . . . . 1.3.3 Autres distributions . . . . . . . 1.3.4 Distributions multivari´es . . . e 1.3.5 Moments . . . . . . . . . . . . . 1.3.6 Estimateurs . . . . . . . . . . . 1.4 Approximations asymptotiques . . . . 1.4.1 Motivations . . . . . . .

permettre de donner une base scientifique à son projet d’amélioration de l’espèce, il adopte une méthode statistique, inédite à l’époque dans le domaine de la biologie, en s’appuyant sur la loi normale gaussienne, dont la densité de distribution dessine une courbe en cloche13. Il applique la distribution normale à l’étude des populations, comme l’avait fait peu avant lui le Belge Adolphe Quetelet. Il mesure ainsi les variations par rapport à la moyenne de différents éléments d’une population de pois

des effectifs cumulés (fonction de répartition) ....................................... 41 5.8 Quantiles ..................................................................................................................... 42 5.9 La loi ou distribution normale ou gaussienne ............................................................. 43 5.10 Intervalle de confiance................................................................................................ 45 5.11 Critères de normalité