Matrice inversible

commerciales © Dunod, Paris, 2008 ISBN 978-2-10-053975-8 Table des matières Préface vii Chapitre 1 Compléments d’algèbre linéaire 1 Somme directe de sous-espaces, sous-espaces stables 2 Réduction des endomorphismes 3 Réduction d’une matrice 1 1 7 11 Chapitre 2 Algèbre bilinéaire 1 Produit scalaire 2 Espaces euclidiens 3 Endomorphismes symétriques 24 24 35 43 Chapitre 3 1 2 3 4 Cas des fonctions de signe quelconque 59 59 64 71 77 Éléments de topologie

utile ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ 29x − 79y = 1 5. Ici, on cherche un couple (x, y) d’entiers relatifs vérifiant le système d’équations ⎨ ⎪ ⎪ 105x − 286y = 1 ⎪ ⎩ ⎛ 29 ⎞ −79 ⎟. On considère pour cela la matrice carrée A définie par A = ⎜ ⎝ 105 −286 ⎠ ⎛ −286 79 ⎞ ⎟ est l’inverse de A, que l’on pourra noter A−1 . a. Vérifier que la matrice B définie par B = ⎜ ⎝ −105 29 ⎠ N.B : On détaillera sur la copie les calculs justificatifs. D’après la remarque de la question précédente : 29 × (−286) − 79 × (−105) = 1. ⎛ 29 −79 ⎞

distribuées selon une loi normale.  Les hypothèses stochastiques H7 : la matrice est régulière c'est-à-dire une matrice de plein rang. H8 : tend vers une matrice finie non singulière lorsque et existe. C est , le o H9 : e d o se atio s à estimer. Dans le cas où est sup ieu au o e de pa a t es , nous avons une interpolation, la droite passe exactement par tous les points. Lorsque , la matrice est plus inversible. A partir de ce modèle, nous allons utiliser la méthode dite de « pas à

d'état, : vecteur qui représente les q mesures ou le vecteur de sortie (s), : vecteur qui représente les p commandes (e), : Matrice de dynamique, : Matrice de commande, : Matrice d'observation, : Matrice d'action directe. Ceci est le cas le plus général. Les matrices A, B, C, D sont souvent invariantes selon le temps, elles deviennent alors des matrices constantes et on parle de représentation d'état continue indépendante du temps donnée par les deux relations matricielles suivantes:

……………………………..34 1-6) Base de données finale………………………………………………………………35 II- Etude préliminaire 2-1) Etude descriptive……………………………………………………………………..36 2-2) Etude empirique des corrélations entre variables explicatives…….………………....40 2-3) Analyse de la matrice de corrélation………………………………….……………....41 III- Etude approfondie : Analyse en composantes principales 3-1) 3-2) 3-3) 3-4) Résultats de l’ACP………………………..…………………………………………...42 Analyse du premier axe ……………………………………………………………...43 Analyse du deuxième axe

-rotation sur les lettres de l’alphabet. -N est la clé (dans le cas ou N=3, cette méthode s’appelle chiffrement de César) Technique de transposition : -la transposition matricielle ° On effectue des transpositions par bloc de n lettres ° Une matrice 2 x n ( la clé de cryptage), définit la transposition. La transposition simple. -inversion de l’ordre des lettres pour chaque mot ( tjs une clé quelque soit la méthode, il faut garder la clé et la méthode secrète) Le cryptage informatique :

dérivées partielles de f en a sont dé…nies , on appelle matrice jacobéenne de f en a la matrice. 0 1 @f1 @f1 @f1 B @x1 (a) @x2 (a) ........ @xn (a) C B @f C @f2 B C 2 (a) (a) ........ ........ B C B @x1 C @x2 Df (a) = Jacf (a) = B ...... C ........ ........ ........ B C B ........ C ....... ........ ........ B C @ @fp A @fp @fp (a) (a) ........ (a) @x1 @x2 @xn où fj est la j ème application composante de f . Si p = n, le déterminant de la matrice jacobéenne est appelé jacobien. On le note ou D(f1 ;

. . . . e 4.2.1 Quelques g´n´ralit´s pour commencer... . . . . . . . . . . . e e e 4.2.2 La m´thode de la plus grande pente . . . . . . . . . . . . . e 4.2.3 La m´thode de Newton-Raphson . . . . . . . . . . . . . . . e 4.2.4 M´thode du score et matrice BHHH . . . . . . . . . . . . . e 4.3 Estimations par algorithme al´atoire . . . . . . . . . . . . . . . . . e 4.3.1 Faire jouer le hasard . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3.2 Moduler le hasard : Metropolis Hastings et le recuit simul´

  .  (2.2) Y1 1 X21 · · ·     Y2   1 X22 · · · où Y =  .  , X =  . . ..  .  . . . .  .  . Yn 1 X2n · · · Xkn βk un Y est un vecteur à n éléments (une matrice n × 1), X est une matrice à n lignes et k colonnes, β est un vecteur à k éléments (une matrice k × 1) et u est un vecteur à n éléments (une matrice n × 1). Exprimé en notation matricielle, le modèle linéaire implique que : Y1 = β1 + β2 X21 + β3 X31 + β4 X41 + · · · + βk Xk1 + u1 Y2 = β1 + β2 X22 + β3 X32 + β4 X42 + · ·

n−1 = i n−1 , . . . , X 1 = i 1 , X 0 = i 0 ) = P(X n+2 = k | X n+1 = j ) P(X n+1 = j | X n = i ) = P(X 2 = k, X 1 = j | X 0 = i ). () Exemples : vérifier dans chacun des exemples suivants que X n est une chaîne de Markov homogène et préciser sa matrice de transition. ) Promenades aléatoires : soit (Yn )n∈N∗ une suite de variables aléatoires indépendantes et de même loi à valeurs dans Z (ou Zd ), soit X 0 une variable aléatoire à valeurs dans Z (ou Zd ), indépendante des (Yn ), on pose X n = X 0