Matrice inversible

est libre. Ayant n + 1 ´el´ements, B est une base de V et   0 1 0 ... 0 . . . . .  .. . . . . . . ..   = A0 . M atB (f) =  0 ... 0 1 0 0 ... 0 b. Puisque Dnn+1 = 0 et Dnn (X n ) = n! = 0, l’existence de Bn est assur´ee. Dans cette base, la matrice de λId + Dn est A0 + λIn soit Aλ . I-4 a. Avec les notations pr´ec´edentes, h(y) se d´ecompose sur la base B 2 en : h(y) = ay + bD2 (y) + cD22 (y). Si de plus h et D2 commutent alors h et D2k commutent ´egalement et pour k = 0, 1, 2 : h(D2k (y))

par le n-uplet d’espérances E(U1 ), . . . , E(Un ) et par la matrice des variances-covariances dont l’élément constitutif est cov(Ui , Uj ). Il est souvent commode de considérer les n variables aléatoires U1 , . . . , Un comme les coordonnées aléatoires d’un vecteur de Rn . 1 On note U = (U1 , . . . , Un ) ce vecteur. L’espérance de ce vecteur est par définition le vecteur des espérances et la variance V(U ) du vecteur U sera la matrice des variances-covariances :  E(U ) =    E(Un )

espace euclidien de dimension finie. e e Remarques (dimension finie). • Si E est de dimension finie tout endomorphisme admet un adjoint, et si B = (e1 , · · · , en ) est une base de E, si Ω = (φ(ei ), φ(ek )) est la matrice (inversible) de φ dans E dans B, la matrice de u dans B ´tant M , la matrice M ∗ de u∗ dans B est : e M ∗ = Ω−1 · t M · Ω car ∀X, Y, t X t M ΩY =t XΩM ∗ Y . En particulier si φ est d´finie, le proc´d´ de Gram-Schmidt e e e permet de construire une base orthonorm´e de E et dans une telle

constitué d'éléments barres qui ne travaillent qu'en traction compression. Nous allons utiliser la méthode des éléments finis pour modéliser ces structures. Nous débutons par la présentation de l'élément fini barre, en détaillant le calcul des matrices élémentaires permettant d'exprimer le principe des travaux virtuel sous forme matricielle. Puis nous verrons comment utiliser ces résultats pour modéliser des treillis bidimensionnels L’élément fini barre Approximation : Considérons un élément

langage math´ematique page 4 2 Ensembles et applications page 8 3 Groupes, structures alg´ebriques page 23 4 Les corps des r´eels R et le corps des complexes C page 33 5 L’anneau des entiers Z page 46 6 L’anneau des polynˆ omes page 53 7 Matrices page 65 8 Espaces vectoriels page 74 9 Applications lin´eaires page 84 10 Introduction aux d´eterminants page 90 11 G´eom´etrie dans le plan et l’espace page 96 Appendice : R´esum´e d’alg`ebre lin´eaire page 105 12 Suites de nombres r´eels

Compos´e de e e deux injections, de deux surjections, de deux bijections. Images directe et r´ciproque d’une partie. e D´finition d’une loi de composition interne. Associativit´, commutativit´, ´l´ment neutre. D´finition des ´l´ments e e e ee e ee inversibles pour une loi associative admettant un ´l´ment neutre. ee Relation d’ordre, ordre total, ordre partiel. Majorants, minorants, plus grand et plus petit ´l´ment. ee 2- Nombres entiers naturels, ensembles finis, d´nombrements e En ce qui concerne les

l'erreur 3.2 Ecart avec les valeurs exactes : MATHEMATICA . . . . . . . . . . . . 3.1.1 Fiabilité de l'évaluation de MATHEMATICA . . . . . . . . . . 3.1.2 Dénition de l'erreur ε et calcul . . . . . . . . . . . . . . . . . . Conditionnement de la matrice de résolution . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.1 Théorie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2.2 Valeurs obtenues à l'aide de MATLAB et inuence du maillage Preuve d'existence pour γ ni . . . . . . . . . . . 4.1.1 Formulation

Applications diff´erentiables . . . . . . . A.2.2 Vecteur gradient . . . . . . . . . . . . . A.2.3 Matrice hessienne . . . . . . . . . . . . . A.2.4 D´eveloppements de Taylor . . . . . . . . A.2.5 Espace tangent . . . . . . . . . . . . . . A.3 Rappels sur les matrices . . . . . . . . . . . . . A.3.1 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . A.3.2 Norme matricielle . . . . . . . . . . . . A.3.3 Matrice (semi-)d´efinie positive/n´egative . . . . . . . . . . . . . . 111 111 111

dans D+ des éléments de le forme δ + K où K est une fonction de D+ . L’existence ainsi qu’une formulation de cette inverse sont données par la : Proposition 1.4.1. Si K ∈ D+ est une fonction localement sommable et localement bornée, alors δ + K est inversible dans D+ et (δ + K)∗−1 = δ + S, où S est la somme de la série de terme général (−1)n K ∗n . Ainsi les équations de Volterra de la forme, pour t ≥ 0 : t y(t) + 0 K(t − θ)y(θ)dθ = g(t), (1.109) où K et g sont localement sommables, s’écrivent

déduireque : KJ: c) En déduireque E est stablepour le produit matriciel. A-t en fonctionde,4. et 3) ialculer e2.eÀdéduire que Aèst inversible exprimer maintenantl'application rpl qui à toute matriceM de E associe: 4) On considère qe(lut):AMA-'. de a) Montrer gve gt est un endomorphisme E. de que çl estun automorphisme E. b) DéterminerKerrpspuis montrer 5) a) Écrire la matrice Qe de gt dansla base(1,J, K,I), puisjustifier gue Qt est diagonalisable' propresassociés. b) Donner les valeurspropresde q1 ainsique