Matrice stochastique

Cours de mathématiques Les matrices 1. Les matrices 2 1.1. Définition 2 1.2. Somme de deux matrices 2 1.3. Produit d’une matrice par un scalaire 2 1.4. Produit de 2 matrices 3 1.5. Matrice identité [pic] 4 1.6. Transposée d’une matrice 4 1.7. Déterminant d’une matrice carrée 5 1.8. Déterminant mineur : 5 1.9. Cofacteur 5 1.10. Calcul du déterminant 5 1.11. Les opérations sur les déterminants 6 2. Matrice inverse 7 2.1. Définition 7 2.2. Propriété

d(Vt − Ft ) = Ct [m(µ − r) + r)dt + mσdWt ] Donc Ct = C0 e(m(µ−r)+r− Vt = = Ct + Ft (V0 − Ke−rT )e(m(µ−r)+r− m2 σ 2 2 m2 σ 2 2 )t+mσWt . Ainsi : )t+mσWt + Ker(t−T ) En regardant l’expression ci-dessus, on note que le seul terme stochastique est emσWt . Ainsi : • E[VT ] = (V0 − Ke−rT )e(m(µ−r)+r)T + K • V ar[VT ] = (V0 − Ke−rT )2 e2T (m(µ−r)+r) [e− m2 σ 2 T 4 ) − 1]] 3 2.2 Temps discret Cette partie a deux intérêts : d’une part la discrétisation du temps est plus

| |Examen 3 MFE |ACT2320 – Mathématiques financières III | |(120$US) |MAT3071 – Processus stochastiques | |Cours associés |ACT6121 – Actuariat III * | |

TD 25 I) On effectue (2n+1) jets successifs et indépendants d'une pièce de monnaie équilibrée (nN). 1°) Quelle est la probabilité d'obtenir plus de pile que de face au cours des (2n+1) jets?  k  1   2 n 1  n    . (On pourra considérer le 2°) En déduire une expression simple de la somme: S   k k  n 1 2 rang d'apparition du (n+1)-ième pile.) II) Une urne contient 2n boules, 2 numéros de chaque valeur de 1 à n. On en tire 2 successivement avec remise on appelle (X,Y) les deux numéros

Exercice 2 A. Loi normale 1. Calcul de P (9,5 ≤ X ≤ 10,5) La variable aléatoire Xsuit la loi normale N ( 10 ; 0,21 ), la variable aléatoire T = X − 10 0,21 centrée réduite . Si X=9,5 alors T = 9, 5 − 10 =− 0,5 suit la loi normale 0,21 Si X=10,5 alors T = 10, 5 − 10 0,21 0,21 ≃ −2,38. = 0,5 0,21 ≃ 2,38. P (9, 5 ≤ X ≤ 10, 5) =P(−2,38≤T ≤2,38)

II/ Lois de probabilités: a) Loi de Bernouilli: Soit X une variable aléatoire discrète. On fait une expérience 1 fois et on considère X le nombre de succès obtenus. X prend les valeurs 0 ou 1 Soit p = P(x=1) --> c’est la probabilité de succès 1.p = P(X=0) --> c’est la probabilité de l’échec Ainsi on dit que X suit la loi de Bernouilli de paramètre P et on note x ~> B(p) (~> = suit) Exemple: On lance une fois un dé et on s'intéresse a l’obtention du chiffre “3” x:nombre

Ainsi, après avoir vérifié l’ordre d’intégration par le test de Dickey-Fuller (DF) et par le test de Dickey-Fuller Augmenté (DFA), on proccèdera à l’estimation de la relation de long terme par les MCO. A. TESTS DE STATIONNARITE Un processus stochastique Yt, tϵZ est dit stationnaire si ∀t=1,2,…,n, sa moyenne et sa variance sont des constantes, avec des covariances également indépendantes de t. on a les expressions mathématiques suivantes : * EYt= μ

faible ou stationnarité du second ordre. Nous allons à présent étudier de façon de plus précise ce qu’est un processus non stationnaire. Il existe en effet deux sorte de non stationnarité : la non stationnarité déterministe et la non stationnarité stochastique. Nous verrons que suivant l’origine de la non stationnarité, il convient d’adopter une méthode de stationnarisation particulière. La seconde partie de ce chapitre sera ensuite consacrée à la présentation des principaux tests de non stationnarité

2007-363 report. [2] Y. Achdou and O. Pironneau. Computational methods for option pricing. Frontiers in applied mathematics. SIAM, 2005. [3] H. Brezis. Analyse fonctionnelle. Dunod, 1999. [4] D. Lamberton and B. Lapeyre. Introduction au calcul stochastique appliqué à la finance. Ellipses, 1997. [5] A. Quarteroni and A. Valli. Numerical Approximation of Partial Differential Equations. Springer, 1997. [6] P. Wilmott, J. Dewynne, and S. Howison. Option pricing : mathematical models and computation. Oxford

grand merci aussi au Professeur Paul Deheuvels pour m’ avoir mis en contact avec Romain-Franç ois Peltier à qui j’ exprime ma profonde gratitude pour avoir ré pondu à mes questions et pour m’ avoir permis de consulter sa thè sur les processus stochastiques fractals. se 3 PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com TABLE DES MATIÈ RES Table des matières RESUME ________