Matrice stochastique

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Projet de Monte Carlo 1 Question1 : Soit Wt un mouvement brownien, alors : * Le processus Wt est gaussien * EWt=0 * EWtWs=min⁡(t,s) * Montrons que Wt est suit une N0,t En effet Wt est une variable aléatoire gaussienne et EWt=0 De plus on sait que EWtWs=min⁡(t,s) donc EWt2=t On en déduit que Wt suit une N0,t donc W0 suit une N0,0 donc W0=0 p.s * Montrons que E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+r-WtEWs pour r > 0 et pour tout s ≤ t Soit r > 0 et s ≤ t On a E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+rWs-EWtWs=s-s=0

Processus stochastiques et lemme d’Ito 1- Définitions et principaux types de processus stochastiques a- Processus stochastique On dit qu’un variable suit un processus stochastique lorsque les changements de valeur de cette variable, au cour du temps sont ,au moins en partie, aléatoires. Les deux termes aléatoire et stochastiques sont synonymes. Mais pour la variable, on utilise, de préférence, le terme aléatoire. On dit une variable aléatoire. Pour désigner le processus qui se déroule dans

Méthode
de
WELCH
 1. Prélever
L
«
tranches
»
de
N
points
d’une
réalisation
ξ
d’un
processus
 aléatoire
x(k,
ξ).
Tranche
l
notée
xl(k,
ξ)
(l=0,
1,
…,
L‐1)
 2. Multiplier
(fenêtrer)
chacune
des
tranches
à
l’aide
d’une
fenêtre
à
 transitions
douces
(Hanning,
Hamming,
Kaiser,…)
notée
ω(k,N)
 3. Calculer
les
L
transformées
de
Fourier
F{xl(k,
ξ,N)ω(k,N)}
de
ces
L
 tranches
fenêtrées
de
N
points
 4. Evaluer
les
L
périodogrammes
fenêtrés
associés
 5. Calculer
la
moyenne
des
L
périodogrammes
fenêtrés
 
 Fonction
pwelch()
de
MATALB
:


d´termination e ee e du prix des options est un probl`me complexe, qui donne lieu, apr`s mod´e e e lisation stochastique ` l’aide du mouvement brownien, ` la r´solution d’´quaa a e e tions aux d´riv´es partielles depuis le travail fondateur de Black-Scholes [BS73] e e et Merton [Me73]. Nous renvoyons le lecteur ` l’ouvrage de Lamberton et a Lapeyre [LL92] pour une introduction aux m´thodes du calcul stochastique e appliqu´ ` la finance et une description de l’analyse math´matique qui conduit ea e a ` des mod`les

Mathématiques Pures et Appliquées Département de Probabilités et de Statistiques Mémoire en vue de l’obtention du grade de Magister en Mathématiques Option : Probabilités & Statistiques Thème : Etude d’un Modèle d’Equations Différentielles Stochastiques Couplées - Application Actuarielle Présenté par : Mr Abdelkader AMERAOUI Soutenu publiquement le 06/07/2008, devant le jury : Pr. Ameziane AÏDER Pr. Kamel BOUKHETALA Pr. Rachid OUAFI Pr. Khaled KHALDI Pr. Tayeb LARDJANE (Professeur USTHB)

que la prime pure. En effet l’assureur fait face à des fluctuations aléatoires inhérentes à tout processus stochastique, le montant du sinistre peut donc s’écarter de sa moyenne. L’assureur devra aussi de prémunir contre l’imprécision des estimateurs statistiques. La prime réclamer par l’assureur est donc supérieure à la prime pure et cela afin de compenser les risques du processus stochastique et de l’imprécision des estimateurs. 1. Principe de l’espérance mathématique : La prime réclamée à l’assuré

O BTS cgo Exercice 1 A : « le bulbe présente le défaut a » B : « le bulbe présente le défaut b » 1. 2. Corrigé de l’épreuve de 2009 A – Evénements indépendants A et B indépendants p(A) = 0,015 p(B) = 0,02 E1 : « le bulbe présente le défaut a et le défaut b » P(E1) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B) = 0,015 x 0,02 = 0,0003 (événements indépendants) E2 : « le bulbe présente au moins un des deux défauts » P(E2) = P(A B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,015 + 0,02 – 0,0003 = 0,0347 P(E1) = 0,0003 P(E2)

Fiches de TD - SERIES TEMPORELLES Professeur Georges BRESSON 1ère Année Master Sciences Economiques Mention Ingénierie Economique et Statistique et Mention Monnaie et Finance Année Universitaire 2009-2010 1 TD-1. Processus stationnaires 1. Calculer l’espérance, la variance, la covariance et l’autocorrélation des processus suivants. Conclure sur leur stationnarité et inversibilité. (a) xt = εt − εt−1 (c) xt = xt−1 + εt (d) xt = φ1 xt−1 + εt − θ1 εt−1 . 2. Soit un processus aléatoire

CHAPITRE 2. FONCTIONS ALÉATOIRES 2.1 Fonctions aléatoires continues 2.1.1 Définition Une fonction aléatoire scalaire X(t) est, pour toute valeur de t, une variable aléatoire1. On a donc que X(t1) et X(t2) constituent deux variables caractérisées chacune par une certaine densité de probabilité notée TX(ti)(xi) pour t = ti, qui peut être continue ou discrète. La fonction aléatoire continue X(t) est entièrement décrite par la connaissance des densités de probabilité jointes du type