Matrice transposée

co-propre et que e−iθ/2 x est vecteur co-propre associ´. cqfd. c. Eµ est un espace vectoriel r´el mais n’est pas un espace vectoriel complexe. e d. Il vient imm´diatement que la compos´e de deux applications semi-lin´aires est lin´aire. e e e e I.2. Matrice associ´e a une application semi-lin´aire. e ` e a. Soit A = aij avec aij la ieme composante de u(ej ) sur la base B = (ek ). Soit x = n n k=1 £ ¢ n xk ek et y = u(x). k=1 Il vient y = k=1 xk u(ek ) donc yi = xk aik . Ainsi Y = AX

hypothèses ne permettent pas de conclure quant à l’existence d’un extremum local de[pic]en [pic] Définition ( matrice hessienne) : Soient U un ouvert de (p, [pic]: U[pic]( de classe C² sur U, [pic]U, Q la forme quadratique : Q : (h1,…,hp)[pic] [pic]hi.hj.[pic]. La matrice H de Q dans la base canonique de (p, H=[pic] est appelée la hessienne de [pic]en [pic] La matrice H est symétrique réelle, par le théorème de Schwarz, donc H est diagonalisable dans Mn((). En notant Sp((H)

1 Calcul matriciel Calcul des puissances d’une matrice Opérations sur les matrices Exercice 6 [ 01251 ] [correction] Calculer An pour n ∈ N et les matrices A suivantes : Exercice 1 [ 01247 ] [correction] Pour A ∈ Mn (K), on note σ (A) la somme des termes de A. On pose   1 ··· 1  . .  J =  . (1) .  . . ··· 1 a) A = 1 0 1 2 b) A = Exercice 7 [ 01252 ] [correction] On considère la matrice b a  1 A= 0 0 1 Vérifier J.A.J = σ(A)

SOUS-ESPACE ENGENDRE PAR UNE FAMILLE DE MATRICES Dans l’espace vectoriel Mn (R) des matrices carrées à coefficients réels, on considère différents sousensembles An de matrices et les sous-espaces V (An ) qu’ils engendrent. La base canonique (Eij )1≤i,j≤n de Mn (R) étant constituée de matrices non inversibles, il est évident que, pour n ≥ 2, le sous-espace engendré par les matrices non inversibles est Mn (R). On rappelle la règle d’opération sur les matrices de la base canonique : Eij Ekℓ = δjk Eiℓ

GL2 (Z) Diagonalisation : résumé MOSE 1003 COMMENT DIAGONALISER UNE MATRICE 2 × 2 EN 6 ÉTAPES Petits rappels de théorie Étant donnée une matrice 2 × 2 A= 1. A est diagonale si A = a b , c d λ1 0 ; 0 λ2 2. A est diagonalisable s’il existe une matrice inversible P telle que P −1 AP = ∆, où ∆ est diagonale. 0 x 3. v = ,v= est un vecteur propre pour A, de valeur propre λ, si Av = λv. y 0 La recette Considérons par exemple A= 1 2 . 2 1 1. Polynôme caractéristique de A : c’est pA (x) = det(A −

alors elles sont égales en ce point: 2f xixj (X) = 2f xjxi (X) 3 Matrice hessienne 3.1 Définition et notations Soit une fonction f de Rn dans R de classe au moins C2. Les dérivées secondes croisées vérifient donc la formule de Schwarz précédente. La fonctionmatricielle de X appeléeD2f fait correspondre à tout point X0(x1, x2, ..., xn) la matrice formée des dérivées secondes de f en X0. Cette matrice carrée et symétrique est notée en un point X0: Hf (X0) = D2f(X0) = 2f 2X

valeurs propres donn´es. e e Yasmine Samia (U of O) M´thodes Math´matiques II e e Vendredi, 30 Mars 2012 3 / 25 Matrices Diagonales Rappel: Une matrice diagonale est une matrice carr´e dont dont les ´l´ments e ee non diagonaux sont nuls. Exemples  −1 0 0 3  0 0  0 0  1 4   2 0 0 0 0 −8 0 0   0 0 −5 0 0 0 0 6 Il est tr`s simple et utile de travailler avec les matrices diagonales pour e plusieurs raisons: Elles sont triangulaires inf´rieures et sup´rieures ` la fois. e e a Leurs

ij a (k) ik kj wa Fin(j); Fin(i) Fin(k) ; ; 15 A k désigne les sous-matrices principales de A définies par a11 a12 a1k k a 22 a 2k a k1 a k2 A k a kk Si det( A ) est non nul pour k=1,2,…,n, alors la méthode d’élimination de Gauss est faisable sans permutation de (k) lignes (tous les pivot akk sont non nuls). Remarque: 1) Si A est une matrice régulière (inversible), alors l’élimination de Gauss peut toujours se faire avec permutation

Maths-Info à l’Université du Havre Gisella Croce 2 Table des matières 1 Systèmes différentiels linéaires 1.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Etude de Y ′ (t) = AY (t) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3 Matrice fondamentale de solutions . . . . . . . . . . . . . 1.4 Etude de Y ′ (t) = AY (t) + B(t) . . . . . . . . . . . . . . . 1.5 Équations différentielles d’ordre p à coefficients constants 1.6 Etude des systèmes linéaires à coefficients variables . . . . 1

(λ ai , j )1 ≤ i ≤ n , 1 ≤ j ≤ p j ≤ p 2) Matrices particulières • Une matrice carrée de format (n,n) est notée : Mn(K) • La matrice nulle de format (n,p) est notée : 0(n,p) = (ai,j) avec ai,j = 0 pour tout i et j de [|1, n|] x [|1, p|] • La matrice élémentaire de format (n,p). Soit (i, j) ∈ [|1, n|] x [|1, p|] fixé alors : 0 Ei , j = 0 0 0 0 1 0 ∈ Mn , p ( K ) 0 Dans Mn, p(K), il y a n.p matrices élémentaires. Famille des matrices élémentaires : (E1,1 ; E1,2 ; … ; E1,p ; E2,1 ;