Nombre complexe

Polynˆmes et nombres complexes o Table des mati`res e 1 Polynˆmes o 1.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . 1.2 Fonction polynˆme . . . . . . . . . . . o 1.3 D´composition en facteurs irr´ductibles e e 1.4 Polynˆme d´riv´e . . . . . . . . . . . . o e e 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 6 7 2 Nombres complexes 2.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 20 3 Suites 3.1 Exercices

avec les signatures suivantes : Public Public Public Public Function Function Function Function DFT(monSignal() As Double) DFTInverse(maTransformee() FFT(monSignal() As Double) FFTInverse(maTransformee() As As As As Complexe() Complexe) As Complexe() Complexe() Complexe) As Complexe() Indication : Pour un bon déroulement des TPs, il est conseillé de traiter les parties 4 et 5 et si possible d’aborder la FFT lors de la première séance. Pour le groupe SI, ces deux parties doivent être effectuées

préparation .............................................. 4 B. Lors des épreuves ............................................................ 5 Algèbre ...................................................................................... 6 A. Complexes. Polynômes .................................................... 6 B. Algèbre linéaire ............................................................... 9 C. Algèbre bilinéaire .......................................................... 16 Analyse .

dernière minute. L’épreuve du bac Elle comporte entre 3 et 5 exercices et dure 4 heures. Les calculatrices ont pour l’instant toujours été autorisées. Pour les élèves en spécialité mathématiques, l’un des exercices (en général celui sur les nombres complexes) est remplacé par un exercice de spécialité. La spécialité mathématiques Les exercices seront ici plus nombreux ; les DM seront moins nombreux et axés sur des problèmes intéressants. Programme transitoire 2011-2012 Cette année subit un

Durée : 4 heures Corrigé du baccalauréat S La Réunion 23 juin 2009 E XERCICE 1 → → − − Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v . 4 points 1. Soit (E) l’ensemble des points M d’affixe z vérifiant : z = 1 − 2i + eiθ , θ étant un nombre réel. z = 1 − 2i + eiθ , ⇒ |z − (1 − 2i)| = eiθ soit |z − (1 − 2i)| = 1. Conclusion : les points M d’affixe z sont à la distance 1 du point d’affixe 1− 2i. Comme θ ∈ R, la réponse est c. z ′ − (−1 − i) = −i[z − (−1 − i)]. f est

Cours d’alg`bre lin´aire e e MIAS1, premier semestre Rapha¨l Danchin e Ann´e 2003-2004 e 2 Table des mati`res e Structures usuelles 1 Les nombres complexes 1.1 Construction des nombres complexes . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 D´finition d’une loi ⊕ dans R2 . . . . . . . . . . . e 1.1.3 D´finition d’une loi ∗ dans R2 . . . . . . . . . . . . e 1.1.4 Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2 Propri´t´s de C . . .

fORMULAIRf FORMULAIRE NOMBRES COMPLEXES, GEOMETRIE A. Nombres complexes Dans Ie repere orthonormal affixe z. (0 ; D, iT) Ie point M(x ; y) , ou (x; y) E 1R2, a pour Z a pour forme algebrique x + iy . Partie reel Ie de z: Partie imaginaire Conjugue Re (z) =x de z : 1m (z) = y de z : z = x - iy Module de z I zl = Jll= Jx2 + y2 : z = p( cos 6 + i sin 6) : z = peiS Si Z;to 0 , trigonometrique Izl=p arg z=6 [2 'IT] z a pourforme Moduledez: Argumentdez:

égale au nombre de réponses correctes données par le candidat. a. Donner les différentes valeurs prises par X . b. Donner la loi de probabilité de X . c. Calculer l’espérance mathématique de X . 4. Un candidat sera reconnu apte s’il donne au moins trois réponses correctes. Quelle est la probabilité qu’un candidat répondant au hasard soit reconnu apte ? E XERCICE 2 4 points → → − − Le plan est muni d’un repère orthonormal O, u , v d’unité graphique 1 cm. On considère les nombres complexes zA =

d’inconnue complexe z. 1. Résoudre dans C l’équation Z 2 + 4Z + 16 = 0. Écrire les solutions de cette équation sous une forme exponentielle. 2. On désigne par a le nombre complexe dont le module est égal à 2 et dont un argument est π égal à . 3 Calculer a 2 sous forme algébrique. En déduire les solutions dans C de l’équation z 2 = −2 + 2 i 3. On écrira les solutions sous forme algébrique. 3. Restitution organisée de connaissances On suppose connu le fait que pour tout nombre complexe z = x + i y

Bases mathématiques A. Exponentielles complexes a. Fonction exponentielle: [pic] b. Propriétés [pic] 1. Nombres complexes Soit [pic]. Soit [pic], tel que [pic]. Fixons [pic] et [pic] l’angle dont sa tangente est égal à [pic]. On a donc [pic] On peut représenter w sur le plan complexe en identifiant l’axe des ordonnées avec i. On a alors[pic]. Et, avec la notation antérieure on peut écrire[pic], où[pic]. À partir de la