Nombre complexe

dans l’évaluation. Le point L est-il l’orthocentre du triangle BGI ? E XERCICE 4 Enseignement obligatoire 5 points → → − − Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct O, u , v (unité graphique : 2 cm). On considère les points A, B et C d’ affixes respectives : 3 3 zA = − + i , zB = zA et zC = −3. 2 2 Partie A 1. Écrire les nombres complexes zA et zB sous forme exponentielle. 2. Placer les points A, B et C. 3. Démontrer que le triangle ABC est équilatéral. Partie B Soit f l’application

d’écriture complexe z ' = 3iz − 1 − 7i 1 a) Déterminer les éléments caractéristiques de S. b) Déterminer une équation de l’image de la droite (BC) par S. z B = 2 et zC = 3 − i 2) Déterminer une équation du cercle C ' image par S du cercle C d’équation ( x − 2) 2 + y2 = 1 EXERCICE 2 Les points A, B, C et D ont pour affixes respectives 2 ; -2 -2 i ; et 2 i 1 a) Déterminer le rapport et l’angle de la similitude directe S1 de centre A qui transforme B en C b) Donner l’écriture complexe de S1 , déterminer

1 2 1 5  3k 2 Comme 3k > 0 : 10  3k k Et comme k est un entier naturel : Par ailleurs, d'après l'énoncé k  3, d'où : d) Cette fois-ci, on résout : 10 3 k3 k=3 P(N) = 1 30 5 1 = 3k 30 k = 50 2. Soit X la variable aléatoire égale au nombre de boules noires obtenues en réalisant 20 parties indépendantes. X est donc binomiale de paramètre n = 20 et p = 1 . 30 La probabilité qu'il obtienne au moins une fois une boule noire est 29 P(X  1) = 1 - P(X = 0) = 1 - (1 - p)20 = 1 - æ ö ç ÷

Math´ematiques Alternatifs), en copyleft LDL. Les noms de leurs auteurs respectifs sont mentionn ´es en bas de page. L. Rosier SOMMAIRE 1er Semestre 1. Ensembles - Applications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2. Nombres complexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 3. Suites num´eriques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 4. G´eom´etrie affine et euclidienne . . . . . . . . . . . . . .

l'occasion Chef de département . SOMMAIRE INTER-ACTIF cliquez directement sur les sujets! L'auteur Page 1 L'auteur Contexte le rôle d'enquêteur Page 2 rôle du technicien en électronique OUTILS pour l'enquêteur Page 4 outils théoriques impédances complexes Page 5 association d'impédances Page 6 calculs avec les impédances Page 7 8 nœuds maille superposition , exercicespage 8 Page 9 outils graphiques le plan X Y , droite de charge Page 10 11 12 outils pratiques alims , voltmètres oscilloscope OBJETS

+b : y’ = 3y -6 a = 3 et b = -6 f(x) = Ceax – b/a f(x) = Ce3x – (-6/3) = Ce3x +2 f(2) = -1 => Ce6 + 2 = -1 ; Ce6 = -3 ; C = -3/e6 = -3e-6 f(x) = -3e-6*e3x +2 Nombres complexes : Forme algébrique : z = x +iy ; Re(Z) = x ; Im(Z) = y ; i² = -1 ; î = -i z1 = z2 si Re(z1) = Re(z2) et si Im(z1) = Im(z2) nombre conjugué : ¯z = x – iy M(z) et M(¯z) symétrique par rapport à l’axe des abscisses. si z réel => Im(z) = 0 => ¯z = z si z imaginaire pur => Re(z) = 0 => ¯z = -z opposé

De Moivre devient membre associé de cette société. Ses recherches les années suivantes concernent l'astronomie et diverses méthodes de résolution d'équation. C'est dans un mémoire de 1707 qu'apparait la formule exprimant un sinus en terme de nombres complexes, ce qui contient ce qu'on appelle désormais la formule de De Moivre : (cos x+isin x)n=cos(nx)+isin(nx). Très ami avec Newton, de Moivre est nommé en 1712 président de la commission mise en place par la Royal Society de Londres pour trancher le

Terminale S novembre 2004 Nouvelle-Calédonie 1 Exercice 1 (5 points) Dans le plan complexe rapporté à un repère orthonormal direct [pic], on considère l’application f du plan dans lui-même qui, à tout point M d’affixe z associe le point M’ d’affixe z’ telle que : [pic]. 1. Soient A et B les points d’affixes [pic] et [pic]. a. Calculer les affixes des points A’ et B’ images des points A et B par f. b. On suppose que deux points ont la même image par f. Démontrer qu’ils sont confondus

choisi pour a1. Pour choisir le troisième élément a3, on a n - 2 choix possibles. .... Pour choisir le dernier élément an, il ne restera plus qu'un seul choix possible. (On peut imaginer un arbre pour écrire toutes les permutations de E) Le nombre de permutations de E est alors : n x (n - 1) x (n - 2) x ... x 2 x 1 Démonstration 02 (retour au cours) Soit E un ensemble à n éléments (n ³ 1)  Il y a une seule partie à 0 éléments dans E, c'est la partie vide. Donc 

est décroissante 2) Soit w la suite définie par wn  v n  u n a) Montrer que w est une suite géométrique et déduire la limite de w b) Montrer que u et v convergent vers la même limite Exercice 5 : (6 points) On considère dans l’ensemble des nombres complexes a  2  i 2 et b  3  i 1) a) Ecrire a et b sous forme exponentielle b) Placer dans un plan rapporté à un repère orthonormé les points A(a), B(b) et C(a + b)   2) Mettre a.b sous forme algébrique et forme trigonométrique, puis déduire cos