Nombre complexe

est un parallélogramme ⇐⇒ OE = OB + OC ⇐⇒ zE = zB + zC = izA + zC . b. En utilisant les deux derniers résultats précédents : zD − zA izC − zA i (zC + izA ) = = = i. zE izA + zC izA + zC c. En utilisant module et argument des deux nombres complexes précédents, on obtient : zD − zA zD − zA AD =i⇒ = 1 ⇐⇒ AD = OE ; = |i| ⇐⇒ zE zE OE zD − zA π −→ −→ − − = i ⇒ OE , AD = arg(i = . Donc OE ⊥ AD. zE 2 Sans utiliser d’affixes connues, on arrive aux mêmes résultats. B 2 A

r´esultat, il faut l’assigner dans un objet : >> a=5+8 >> a Pour ne pas faire afficher le r´esultat, mettez ; `a la fin de la commande : >> a=5+8; 4.3. Constantes pr´ ed´ efinies. pi eps Inf NaN 3.1415... 2.2204e-016 nombre infini n’est pas un nombre ; exprime parfois une ind´etermination 4.4. Historique. Matlab conserve l’historique des commandes. Il est donc possible de r´ecup´erer des instructions d´ej` a saisies (et ensuite de les modifier dans le but de les r´eutiliser)

Liban 2014. Enseignement spécifique EXERCICE 4 (5 points) (candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité) On considère la suite de nombres complexes (zn ) définie par z0 = √ 3 − i et pour tout entier naturel n : zn+1 = (1 + i)zn . Les parties A et B peuvent être traitées de façon indépendante. Partie A Pour tout entier naturel n, on pose un = |zn |. 1) Calculer u0 . 2) Démontrer que (un ) est la suite géométrique de raison √ 2 et de premier terme 2. 3) Pour tout entier naturel n, exprimer

I) De quoi s'agit-il ? Nombres complexes Ensemble de points II) Indication et commentaire 1°) Module et argument de z On peut écrire −i i 1 1 i z= i(1-cosα-isinα) c’ aussi z = ie 2 (e 2 − e 2 ) . est 2 2 ϕ ϕ ϕ Vérifier alors que z = sin e 2 . Discuter suivant les valeurs de ϕ, le signe de sin Et vérifier : * si ϕ=0 alors z=0. * si ϕ∈ ]0,π[ alors z = sin ,   2 2   ϕ ϕ * si ϕ∈ ]-π,0[ alors z = − sin , + π    2 2  ϕ ϕ ϕ 2 i ϕ ϕ . 2 2°) module et argument de (z-i) ϕ

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 2 : Calculs avec des nombres complexes et des fonctions usuelles. Polynˆmes de o Tchebychev. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Pb 3 : Une bonne base pour des endomorphismes de trace nulle. . . . . . . . . . . . . Pb 4 : Polynˆmes sym´triques ´l´mentaires. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e ee Pb 5 : Coefficients du binˆme. Nombre d’op´rations. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o e Pb 6 : Astro¨

Ch 6 Nombres complexes Correction des exercices type Bac Exercice 5 Bac S – Amérique du Sud – Nov. 2005 Le plan complexe est rapporté à un repère orthonormal direct ( O ; [pic] ;[pic] ) . On prendra pour unité graphique 2 cm. Soit f l’application qui à tout point M du plan d’affixe z non nulle associe le point M’ d’affixe z’ =[pic], où [pic]désigne le nombre complexe conjugué de z . 1) Déterminer l’ensemble des points invariants par f . Un point M d’affixe z est invariant par f si, et

Mich`le Audin e ANALYSE COMPLEXE Mich`le Audin e Institut de Recherche Math´matique Avanc´e, Universit´ Louis Pasteur et CNRS, e e e 7 rue Ren´ Descartes, 67084 Strasbourg cedex, France. e E-mail : Michele.Audin@math.u-strasbg.fr Url : http://www-irma.u-strasbg.fr/˜maudin Mots clefs. fonction holomorphe, fonction analytique, exponentielle, logarithme, th´or`me de Caue e chy, principe du maximum, th´or`me de Liouville, indice, singularit´s, fonctions m´romorphes, fonction e e

Terminale S R´visions pour le Bac Blanc 2012 e Am´rique du Nord Juin 2011 e → → − − Le plan complexe est rapport´ ` un rep`re orthonormal direct O, u , v . ea e On consid`re les points A et B d’affixes respectives : a = i et b = 1 + i. e π On note : rA la rotation de centre A, d’angle , rB la rotation de centre B, 2 π π d’angle et rO la rotation de centre O, d’angle − . 2 2 Partie A On consid`re le point C d’affixe c = 3i. On appelle D l’image de C par rA , e G l’image de D par rB et H l’image

critique dans le sens trigonométrique un nombre de fois égal au nombre des pôles instables de la fonction de transfert en boucle ouverte. C'est une conséquence à peu près immédiate du théorème des résidus. Démonstration du critère a) Lemme fondamental • Soit F(p) une fonction de la variable complexe p : c'est un nombre complexe dont le module et l'argument sont fonction de p. Si le point d'affixe p décrit une courbe fermée (C) dans le plan complexe, le point d'affixe F(p) décrit un lieu

Aucune justification n’est demandée. Une réponse correcte vaut 1 point, une réponse fausse ou l’absence de réponse vaut 0 point. Dans le plan complexe rapporté au repère orthonormé (O, u, v) , on considère les points A, B et C d’affixes respectives : zA = 3 1 + i 2 2 ; zB = − 1 3 + i 2 2 et z C = z B − z A 1) Soit z un nombre complexe vérifiant : z + 2z = 11 + 8i alors l’écriture cartésienne de z est : a) z = 4 + 3i b) z = 3 − 4i c) z = 3 + 4i 2) L’écriture 71 = 7 × 9 + 8 est la