Nombre complexe

Pour tout nombre complexe z différent de -1, on note p le module de z + 1 et p’ le module de z’+ i. a. Démontrer que pour tout complexe z différent de -1, on a pp’ = 5 . b. Si le point M appartient au cercle (Γ) de centre A et de rayon 2, montrer qu’alors M’ = f(M) appartient à un cercle (Γ’), dont on précisera le centre et le rayon. z - 2i 4. Pour tout nombre complexe z différent de −1, on considère le nombre complexe w = z + 1 . a. Interpréter géométriquement l’argument du nombre complexe w. b. Montrer

ci-dessous dans lequel : «rand(1, 50)» permet d'obtenir un nombre entier aléatoire appartenant à l'intervalle [1 ; 50] l'écriture « » désigne l'affectation d'une valeur à une variable . Variables sont des variables du type entier Initialisation Traitement Tant que ou ou ou ou ou ou ou ou ou Début du tant que Fin du tant que Sortie Afficher a) Parmi les ensembles de nombres suivants, lesquels ont pu être obtenus avec cet algorithme:

Chapitre 1 Nombres réels 1.1 Dé…nitions et propriétés Soit R un ensemble d’ éléments entre lesquels on peut établir la relation d’ ordre d’ infériorité et e¤ectuer les opérations de la somme + et de la multiplication . Les propriétés de ces relations et opérations sont données sous forme d’ système un d’ axiomes répartis sur quatre groupes : le premier groupes correspond aux axiomes de l’ addition, dans le deuxième - les axiomes de la multiplication, dans le troisième - les axiomes de la relation

tels que : z + 2 z +1= 3z+ z est une conique. 2)Déterminer la nature de ( C ) . Précisiez ses éléments remarquable :foyers, asymptotes , directrices. Tracez ( C ) en mettant en évidence les éléments précédant. Exercice 12 : Soit u un nombre complexe et ( E u ) l’équation : z² - ( 2 u – i u ) z – 2 i u . u = 0 1°) Résoudre l’équation ( Eu ) dans IC On désignera par z’ et z’’ les solutions de cette équation . 2013/2014 2°) On rapporte le plan au repère orthonormé   direct (

 représente  | | | | « N » | | | | | Nombre | | | | ℕ* | « N privé de zéro » | | | | ℤ | Ensemble des entiers relatifs |  représente  | | | | « Z » | | | | | Nombre | | | | ⅅ | Ensemble des nombres décimaux |  représente  | | | | « D » | | | | | Nombre | | | | ℚ | Ensemble des nombres rationnels |  représente  | | | | « Q » | | | | | Nombre | | | | ℚ+ | | | | | ℝ | Ensemble des nombres réels |  représente l'ensemble des limites dessuites

symbole est principalement utilisé. En plus, la quatrième colonne contient une définition informelle et la dernière donne un court exemple apportant une explication sur l'utilisation du symbole. Du fait de leur utilisation répandue, il existe un grand nombre de façons différentes de représenter certains symboles. Ce tableau ne saurait prétendre à l'exhaustivité. Sommaire[masquer] * 1 Logique * 2 Autres branches * 3 Autres symboles mathématiques * 4 Liens externes | Logique[modifier] Symbole

Module et conjugué d'un nombre complexe Nombres complexes On appelle module du nombre complexe z = a + bi , a ∈ IR , b ∈ IR, Définition - Propriétés Un nombre complexe z s'écrit de façon unique sous la forme a + bi ; a ∈ IR , b ∈ IR On dit que a + bi est la forme algébrique du nombre complexe z. a est la partie réelle de z, on note a = Re(z) b est la partie imaginaire de z, on note b = Im(z). Le nombre complexe i est tel que i 2 = - 1. Les complexes de la forme bi avec b ∈ IR, sont appelés imaginaires

− 4z + 5 = 0. Déterminons donc les racines complexes du polynômes du second degré z 2 − 4z + 5 : ∆ = b2 − 4ac = (−4)2 − 4 × 1 × 5 = 16 − 20 = −4 = (2i)2 < 0 Donc le polynôme z 2 − 4z + 5 a deux racines complexes conjuguées : √ −b − i −∆ 4 − 2i 2 (2 − i) = = =2−i et z2 = z1 = 2 + i z1 = 2a 2 2 S = {2 − i; 2 + i} : les points du plan ayant pour image le point d’affixe 5 sont les deux points d’affixes 2 − i et 2 + i. a. Vérifier que pour tout nombre complexe z, on a : z ′ + 4 = (z − 2)2 . 2 2 ′ (z −

L’objet de ce problème est l’étude de certaines fonctions définies sur des espaces de matrices. Dans tout le problème, on fixe un entier ? ∈ ℕ∗ et on note ℳ? (ℝ) (respectivement ℳ? (ℂ)) l’espace des matrices carrées à coefficients réels (respectivement complexes) de taille ? × ?. Si ? et ? sont deux entiers entre 1 et ?, on note ??,? le coefficient placé ligne ? et colonne ? dans la matrice ?. On rappelle que ? 0 = ?? . On note Tr(?) la trace de la matrice ?. Les parties I, II et III sont indépendantes des

Fonction carré La fonction carré est la fonction qui à un nombre réel x associe son carré, noté x², soit x multiplié par lui même. Elle introduit les fonctions puissance, c'est une des plus simples d'entre elles. Propriétés [modifier]Signe La première propriété est la positivité de la fonction. En effet quel que soit x réel, y=x\times x on a forcément deux fois le même signe à droite; donc y est supérieur ou égal 0. Et s'annule uniquement en 0. Parité Vient ensuite la parité de la fonction