Nombre réel

Théoreme des valeurs intermédiaires : Si f est une fonction continue et strictement monotone (monotone : Soit croissante tout le temps, soit décroissante tout le temps.) sur un intervalle [a , b] alors pour tout réel k compris entre f(a) et f(b), l'équation f(x) = k admet une solution unique dans l'intervalle [a , b] On dit que f réalise/effectue une bijection (ou encore : est une bijection) de l'intervalle [a , b] sur l'intervalle [f(a) , f(b)] ou [f(b) , f(a)]. Existence d'une solution

développements limités formule I) La formule de Taylor 1.1 ) Formule de Taylor avec reste intégral On considère une fonction de classe (c’est-à-dire fois dérivables et à dérivées continues, en particulier la -ième) dans un intervalle ouvert contenant un réel En pratique il s’agira surtout de fonctions de classe On a la formule suivante (appelée formule de Taylor avec reste intégral (ou reste de Laplace) : Ce que l’on écrit habituellement : Cette formule se démontre assez facilement par récurrence

coûts fixes (amortissement du four, assurances, ...) d'autre part, les coûts variables (ingrédients, salaires, ...) qui dépendent du nombre q de lots fabriqués. On suppose qu'elle vend toute sa production. On estime que la fonction de coût (total) de cette entreprise est donnée par la fonction suivante : C !q" # 1 3 q 2 $ 2 q2 % 5q % 20 où q est le nombre de lots fabriqués, et C(q) est estimé en dizaines d'euros. Partie A : étude du coût marginal et du coût total Le coût marginal

Baccalauréat STG Mercatique France 22 juin 2010 E XERCICE 1 On s’intéresse au nombre de clients ayant accès à l’internet haut débit en France. On a pris pour indice de référence 100 en décembre 2007. On dispose des renseignements suivants : déc01 604 déc02 déc03 3 626 déc04 6 562 déc05 9 465 décdéc- déc06 07 08 12 711 15 752 17 691 5 points Nombre de clients ayant accès à l’internet haut débit, en milliers Indice 3,8 10,8 23,0 41,7 60,1 80,7 100,0 112,3 (Sources : France Telecom et

Question préliminaire Le plan euclidien 2 est rapporté à un repère orthonormé direct HO; e1 , e2 L. On considère un réel R > 0, un nombre réel q tel que 0 § q < p ê 2, les points A d'affixe R ei q et B d'affixe R e-i q , et le point WHtL de coordonnées Ht, 0L où t > 0. a) Calculer la longueur RHtL = °W HtL A¥ = °W HtL B¥ et montrer que RHtL < R pour t assez petit. b) En déduire que si le réel t est choisi strictement positif et assez petit, alors la boule fermée B f HWHtL, RHtLL de centre WHtL et de rayon

elles, le grand nombre de ceux qui les cultivent ; enfin, la multiplication des imprimeries, suffisent pour nous répondre qu’aucune d’elles ne peut descendre désormais au-dessous du point où elle a été portée. Nous ferons observer que les principes de la philosophie, les maximes de la liberté, la connaissance des véritables droits de l’homme et de ses intérêts réels, sont répandus dans un trop grand nombre de nations, et dirigent dans chacune d’elles les opinions d’un trop grand nombre d’hommes éclairés

Ensembles de nombres 4 + 2 = 6 points Précisez le plus petit ensemble, au sens de l’inclusion, auquel appartiennent les nombres suivants : 1. A = 1 √ 5 2. B = 2, 1 ; 0, 3 2 Exercice 2. 3. C = (−10)6 ; √ √ 4. D = 2 × 8 ; ; 5. E = 1 1 √ + √ ; 1+ 2 1− 2 Vrai ou Faux 4 × 2 = 8 points Pour chacune de ces affirmations, dire si elles sont vraie ou fausse, en justifiant votre réponse à l’aide d’une propriété, d’un calcul ou d’un contre-exemple. 1. Le produit de deux nombres irrationnels et

approchées des solutions lues. 3. En utilisant les résultats précédents, déterminer le point M du segment [AB] popur lequel la distance BN est minimale. Exercice 84 On veut résoudre, dans l’ensemble des nombres réels R, l’équation : x3 − 2x2 − 4x + 5 = 0. A - Méthode graphique 1. a. Vérifier que le nombre 2 n’est pas solution de l’équation. 4x − 5 b. Montrer que, pour x ̸= 2, l’équation x2 = est x−2 3 2 équivalent à l’équation x − 2x − 4x + 5 = 0 b. Déterminer la dérivée f ′ de f puis justifier le résultat

tant que que tels, ou par un liseré en marge gauche. Ils sont inspirés par des exercices très classiques ou provenant des annales de concours. Ils sont plus nombreux quand une grande variété de situations se présente. Dans le même esprit, un certain nombre d’applications sont données. Elles ne font pas partie du cours, mais elles en sont le prolongement naturel, et inspirent de nombreux exercices d’annales. Ces caractéristiques sont signalées à chaque fois qu’il est nécessaire. Sur fond grisé vous trouverez

conférence de Postdam, signifié à l'empire du Japon au nom des États Unis, du Royaume Uni et de la République de Chine.Le Japon est sommé de se rendre sans quoi il subira une destruction rapide ) . Le nombre de victimes s’élèverait à environ 140 000 morts(mais il s'agit seulement d'une supposition, le nombre réel de victimes ne peut être évalué précisément), auxquels s’ajoutent les décès ultérieurs causés par divers type de cancers et de pathologies . Description et analyse de l’œuvre « Thrène à la mémoire