Nombre réel

(STI2D/STL SPCL) 4 1. x lim f(x) = – ∞ ; → –∞ Activité. Des images en deux étapes 1. Les nombres de la colonne C sont les images par g des lim f(x) = – ∞ ; x → 1– f(x) = 0. lim f(x) = + ∞ ; x lim → +∞ x → 1+ nombres de la colonne A. 22 © NATHAN La photocopie non autorisée est un délit. Chapitre 2 2. –∞ x f(x) –2 2 1 +∞ –∞ –∞ 5 C 1. x lim f(x) = – 4 ; → –∞ +∞ 10 C 1. La valeur absolue du nombre réel x, notée |x|, est égale à x quand x est positif et à – x quand x < 0. 2. lim |x| = lim

Second degré I - Fonction trinôme du second degré A - Rappels Définition On appelle fonction trinôme du second degré , toute fonction f définie sur ℝ par f  x =ax 2 bxc où a , b et c sont des réels et a≠0 B - Forme canonique Théorème 2 Pour tout réel x , on ax bxc=a   2 b b 2−4 ac x − 2a 4 a2  Cette forme est appelé forme canonique on note =b2−4 ac appelé discriminant Démonstration    b c ax bxc=a x   =a ax a 2 2    2 b b2 c x − 2  =a 2a 4a a  2 b b2 −4 ac

 CALCUL MATRICIEL I- Matrices et déterminants I-1- Matrices Définition : On appelle matrice, toute suite finie de nombres disposés en tableau rectangulaire de n  p nombres réels. Les nombres réels sont aussi appelés coefficients (i pour la ligne et j pour la colonne). Exemple : n=2 lignes p= 3colonnes A est une matrice (2 ;3) Si n=p la matrice est dite carrée. n=p=3 B est une matrice (3 ;3) Plus généralement, on écrit la matrice sous cette forme : C=

fonction g : x -¥ Signe de la dérivée g' +¥ 0 - 0 + Variations de la fonction g 1 La fonction g admet un minimum m strictement positif en 0 : m = g(0) = e 0 - 0 = 1 Par conséquent la fonction g est strictement positive pour tout réel x, d'où : pour tout x Î , e x  x Fonctions exponentielles et logarithmes Page 1 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ Or, nous savons que lim x = +¥. x ® +¥ Du théorème de comparaison des limites, on en déduit que l'exponentielle

fonction définie sur  par f ( x)  ( x  1)e2x . a. La fonction f vérifie l’équation y '(x)  2y(x)  e2x . b. L’équation f ( x)   1 a deux solutions distinctes. 16 Pour  réel, on pose I( )   1  f (x)dx . 1 2  1 2  e . 4 4e2 3 F. Laroche http://laroche.lycee.free.fr c. Pour tout réel , on a : I( )   Terminale S Calcul intégral corrigés d. On a :   lim I( )   . Correction a. Vrai : f '(x)  e2x  2e2x(x  1)  e2x(2x  3) , on remplace :

s’expriment par le mesure en radians de l’angle au centre AOM même nombre. ˆ = α rad et AM = ℓ, alors ℓ = α . Si AOM On a : degrés 180 90 60 45 30 radians π π 2 π 3 π 4 π 6 2. Repérage sur le cercle trigonométrique C le cercle trigonométrique. On représente IR sous la forme d’un axe d’origine I et dirigé vers le haut. On « enroule » IR sur le cercle trigonométrique. A un nombre x > 0, on associe, en tournant dans le sens direct sur le cercle trigo

. Nombre dérivé en x0 1. Définition Soit f une fonction définie sur un intervalle ouvert contenant x0. On dit que f est dérivable en x0 si la quantité admet une limite finie quand h tend vers 0. Cette limite est appelée nombre dérivé en x0 et notée f '(x0). Remarque : Il ne faut pas écrire « » si l'existence de cette limite n'a pas encore été justifiée. 2. Meilleure approximation affine Théorème 1 f est dérivable en x0 si et seulement si il existe un réel l tel que f(x0+ h) = f(x0)

tant que que tels, ou par un liseré en marge gauche. Ils sont inspirés par des exercices très classiques ou provenant des annales de concours. Ils sont plus nombreux quand une grande variété de situations se présente. Dans le même esprit, un certain nombre d’applications sont données. Elles ne font pas partie du cours, mais elles en sont le prolongement naturel, et inspirent de nombreux exercices d’annales. Ces caractéristiques sont signalées à chaque fois qu’il est nécessaire. Sur fond grisé vous trouverez

par des vecteurs caractérisés par un nombre de coordonnées supérieur à deux. Il en est de même pour l’ensemble des notes obtenues par un étudiant à la fin d’un semestre ou par les notes de mille étudiants de 2 première année dans une matière donnée. Dans la section 1.1 nous présentons la définition formelle d’un espace vectoriel ainsi que les propriétés élémentaires de ces structures. Nous restreignons le cours aux espaces dont les vecteurs ont un nombre fini de coordonnées. 1.1 Généralités

pratique par p ( A ∩ B ) = p ( A) × p ( B ) On définit une variable aléatoire X sur Ω lorsqu’on associe un nombre réel à certains événements de Ω La loi de probabilité de la variable aléatoire X est la fonction k ֏ p ( X = k ) , souvent présentée dans un tableau : 3-2) Variable aléatoire valeurs possibles probabilité x1 p1 x2 p2 … … xn pn L’espérance de cette loi est le nombre noté E(X) à égal à : E ( X ) = p1 x1 + p2 x2 + .... pn xn = ∑ pi xi i =1 n Répétition d’épreuve