Nombre réel

ALGEBRIQUES Dans une expression algébrique, certains nombres sont représentés par des lettres. On ne peut donc pas les calculer. Mais on peut les transformer (réduire, développer, factoriser) pour mieux les exploiter. a. Distributivité Pour tous nombres k, a et b, on a : → Développer → k(a + b) = ka + kb ← Factoriser ← Exemples : 5(2x + 3) = 10x + 15 3x(1 – 2x) = 3x – 6x² 2x²(7x + 3) = 14x3 + 6x² b. Double distributivité Pour tous nombres a, b, c et d on a : → Développer → (a + b)(c + d) =

pouvoir est détenu par le peuple grâce au suffrage universel. Les élections aux Etats-Unis varient selon les états. Il n’existe pas de liste électorale unique, ainsi aujourd’hui il existe près de 13000 listes électorales. Cela empêche de compter le nombre réel d’inscriptions. En février 2012, une étude du Pew center on the States montre que 2 750 000 électeurs sont inscrits dans plusieurs états. Dix- neuf états n’exigent pas de carte d’identité pour voter et seulement huit états exigent une carte d’identité

tel que x - a ≤ η implique f ( x ) − f (a ) ≤ ε Toutes les fonctions usuelles, sauf la fonction partie entière sont continues là où elles sont définies. lq Définition 2 : Soit I un intervalle, a un élément de I ; on dira que f : I − a → ℜ admet un réel l comme limite en a si et seulement si pour tout ε > 0 il existe un η > 0 tel que x - a ≤ η et x ≠ a implique f ( x ) − l ≤ ε NB : Il y a équivalence entre f est continue en a et f admet en a la limite f ( a ) . Une limite, lorsqu’elle existe, est

verticalement. 2) La courbe a été contractée verticalement. c. Lorsqu’on multiplie l’expression associée à la variable dépendante d’une fonction de base par un nombre réel, la courbe associée à cette fonction subit un étirement vertical, si la valeur absolue de ce nombre est supérieure à 1, et une contraction verticale, si la valeur absolue de ce nombre est comprise entre 0 et 1. d. 1) L’expression associée à la variable indépendante a été multipliée par 2. 2) L’expression associée à la variable indépendante

Chapitre 3 Chapitre 3. Dérivées et primitives Activités et applications 2x(x2 + 1) – (x2 – 1)(2x) 4x = 2 . (x2 + 1)2 (x + 1)2 Pour tout réel x, F’(x) = f(x) donc F est une primitive de f sur ‫ޒ‬. 2. G est dérivable sur ‫ޒ‬. G = uv avec u(x) = x et v(x) = cos(2x). G’(x) = u’(x) v(x) + u(x)v’(x) avec u’(x) = 1 et v’(x) = – 2 sin(2x). G’(x) = cos(2x) – 2x sin(2x). On n’a pas, sur ‫ޒ‬, G’(x) = g(x) ; donc G n’est pas une primitive de g sur ‫ޒ‬. F’(x) = 1. Dérivée d’une fonction de la forme x ‫( ۋ‬u(x))n

partir de maintenant que f (x) = −ex + 3x + 2. a. Étudier les variations de f sur l’intervalle [−2 ; 3]. b. Montrer que f s’annule exactement une fois sur [−2 ; ln 3] en un réel α. Donner, en justifiant, une valeur approchée au centième près de α. c. Pour la suite, on admet que f s’annule exactement une fois sur [ln 3 ; 3] en un réel β. Déterminer le signe de f sur l’intervalle [−2 ; 3]. 4. a. Déterminer une primitive de f sur l’intervalle [−2 ; 3]. b. On considère la surface S délimitée par l’axe des

NORMÉS : SUITES ET TOPOLOGIE I Suites réelles et complexes A Borne supérieure Définition Si A ⊂ R est une partie non vide et majorée, l’ensemble de ses majorants possède un plus petit élément, qu’on appelle borne supérieure de A et notée sup( A). Cette borne supérieure M = sup( A) n’est pas en général un élément de A et est caractérisée par les deux propriétés ∀x∈A x M ∀ε>0 ∃x∈A B M−ε < x M Convergence d’une suite réelle Définition Une suite (un )n∈N de réels

verticalement. 2) La courbe a été contractée verticalement. c. Lorsqu’on multiplie l’expression associée à la variable dépendante d’une fonction de base par un nombre réel, la courbe associée à cette fonction subit un étirement vertical, si la valeur absolue de ce nombre est supérieure à 1, et une contraction verticale, si la valeur absolue de ce nombre est comprise entre 0 et 1. d. 1) L’expression associée à la variable indépendante a été multipliée par 2. 2) L’expression associée à la variable indépendante

étude d'une fonction Soit la fonction f définie sur l'intervalle ℝ\{1,25} par f  x = x2−1,5 4 x−5 . 1. Dériver f et étudier le signe de la dérivée. 2. En déduire le tableau de variations de f . 3. Déduire du tableau de variations effectué, le nombre de solutions de l'équation f  x =0 . Exercice 6 : lecture graphique On considère une fonction f définie et dérivable sur l’intervalle [ ] 2 −5,5 . Le plan est muni d’un repère orthonormal. La courbe (Cf) représentée ci-contre est celle de

5 A −1 −2 Partie B Dans cette partie, toute trace de recherche, même incomplète, ou d’initiative, même non fructueuse, sera prise en compte dans l’évaluation. u0 = 2 Soit (un ) la suite définie pour tout nombre entier naturel n par : un+1 = f (un ) 1. Pour tout nombre entier naturel n, 2 un β. Démonstration par réccurence : • On a 2 u0 = 2 β • Supposons que, pour un n donné, on ait : 2 un β, alors, la fonction f étant croissante sur [2; β] : 2 • Ainsi, ∀n, n ∈ un un β =⇒ 2 β. 2, 09861228867