Nombre réel

+∞, tend vers +∞" "une fonction inférieure à une fonction qui tend vers −∞, tend vers −∞" u(x) et si lim u(x) = +∞,   • si, pour tout réel x assez grand, on a ƒ(x) £ Soient ƒ, u et v des fonctions définies sur un intervalle du type [a ; +∞[ (a ∈ ) x→+∞ alors ƒ admet une limite en +∞ et lim ƒ(x) = +∞ x→+∞ ¤ • si, pour tout réel x assez grand, on a ƒ(x) v(x) et si lim v(x) = –∞, x→+∞ alors ƒ admet une limite en +∞ et lim ƒ(x) = –∞ x→+∞ L'expression "pour tout

grossièrement cette histoire de l'espace, qu'il était au Moyen Age un ensemble hiérarchisé de lieux : lieux sacrés et lieux profanes, lieux protégés et lieux au contraire ouverts et sans défense, lieux urbains et lieux campagnards (voilà pour la vie réelle des hommes); pour la théorie cosmologique, il y avait les lieux supra-célestes opposés au lieu céleste; et le lieu céleste à son tour s'opposait au lieu terrestre; il y avait les lieux où les choses se trouvaient placées parce qu'elles avaient été

tout réel x, exp’(x) = exp (x) ; – exp (0) = 1. Fonction logarithme népérien : • La fonction logarithme népérien est la primitive de la fonction inverse sur ]0 ; +∞[ qui prend la valeur 0 en 1. • Pour tout réel a strictement positif, il existe un unique réel x tel que ex = a. Ce nombre s’appelle le logarithme népérien de a et on le note x = ln a. Image d’un nombre : Soit f une fonction numérique définie sur I par f : x → f (x), l’image par la fonction f du nombre x appartenant à I est le nombre f (x)

Chapitre 1 PROCESSUS STOCHASTIQUES 1.1 Introduction Chaque seconde, dans les salles de marchés, une avalanche de nombres envahit les écrans des "traders". Chaque quart d’ heure, la consommation nationale d’ électricité apparaît sur les écrans des compagnies productrices d’ électricité. Chaque jour, les scores d’ audience des émissions de télévision couvrent les couloirs des producteurs d’ émissions audiovisuelles. Chaque mois, les taux de demandes d’ emploi non satisfaites ou d’ ation occupent

ne peut pas diviser par 0. Dans certains cas favorables, admettra une limite (finie !) quand tendra vers 0. On dira queest dérivable en. Cette limite finie sera le nombre dérivé deen, noté. Exemple : Soit et Calculer, si possible, le nombre dérivé ende la fonction carré. Le coefficient directeur de la sécante (AB) est : formule. Comme existe et vaut , on déduit quela fonctionest dérivable enet. La parabole représentant

Dérivation Nombre dérivéLimite finie d'une fonction en 0.Soit f une fonction définie sur D tel que 0 est à l'intérieur de D ou est une borne de D. On dit que f a pour limite le nombre l lorsque x tend vers 0 et on écrit si les nombres f(x) peuvent devenir aussi proches de l qu'on le désire pour x suffisamment proche de 0. Exemple : en effet pour que 5 + 2x soit compris entre 5 – e et 5 + e, c'est à dire 5 – e < 5 + 2x < 5 + e, il suffit de choisir x entre – e/2 et e/2. Fonction

e3ln 2 + e a) Vrai 18) L’expression a) Vrai 19) L’expression e x x ln 1 2 2 x f ( x) = ln x + ln 2 est b) f '( x) = c) f '( x) = 1 e3 − e5 × e−5 + 4 −2 + e 4 × e = 8 + 5e5 2 e b) Faux e x x e +1 a un sens pour tout nombre réel x b) Faux e −1 a un sens si a) x ∈ IR b) x ∈ IR* c) x ∈ IR–{1} 20) L’ensemble des solutions de l’inéquation −e x + 2 ≥ 0 est a) [ln2 ; +∞[ b) [–ln2 ; +∞[ c) ]–∞ ; ln2] d) ]–∞ ; –ln2] −x 21) L’ensemble des solutions de l’inéquation −e +

Remarques ● Le périmètre du cercle trigonométrique est égal à 2π. ● On considère la droite graduée ∆ tangente au cercle en I(1 ; 0). Pour un réel x repéré sur la droite ∆, on considère le point M que l'on obtiendrait sur le cercle trigonométrique par "enroulement" de ∆ sur le cercle. On dit que M est l'image sur le cercle du réel x. Exemples ∆ ( voir animation ) Le périmètre du cercle trigonométrique étant égal à 2π, ● ● ● ● le point correspondant à π est obtenu

(1749-1827) et Gauss (1777-1855), deux mathématiciens, astronomes et physiciens qui l'ont étudiée. Plus formellement, c'est une loi de probabilité absolument continue qui dépend de deux paramètres : son espérance, un nombre réel noté \scriptstyle \mu, et son écart type, un nombre réel positif noté \scriptstyle \sigma. La densité de probabilité de la loi normale est donnée par : f(x) = \tfrac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}} \mathrm{e}^{-\frac{1}{2}\left(\frac{x-\mu}{\sigma}\right)^2}. La courbe de cette

− f a =∞ h ou quelle conséquence graphique ce résultat a-t-il pour Cf ?.........................................50 f  a  h − f a 5.Comment interpréter graphiquement les résultats suivants : lim = h xa f  a  h − f  a réel et lim = réel, avec ≠ ou quelle conséquence graphique h xa ces résultats ont-ils pour Cf ?.........................................................................................50 6.Comment calculer f '(a) ?.....................................