Orthogonalité

possible de créer d’autres plans composites centrés en privilégiant plutôt la presque orthogonalité. Dans ce cas, le coefficient alpha dépend du nombre de points au centre (figure 6.55). On calcule alors le coefficient alpha au moyen de la relation : α = 4 Nb ( N – Nb ) 2 ---------------------------------------4 avec N, nombre total d’essais. Figure 6.55 Plans composites privilégiant la « presque orthogonalité » Nombre de facteurs Plan factoriel de base (Nb) 2 3 4 L4 L8 L16 (complet) (complet)

statistique entre la variable explicative (le rendement e e a e de l’indice boursier) et le risque sp´cifique ` l’entreprise (cette hypoth`se sur εit n’est pas contraignante): cov (RM,t , εit ) = 0 Ce que donne cette d´composition de la variance (orthogonalit´ entre les deux e e sources de risque): var (Rit ) = βi2 · var (RM,t ) + var (εit ) + 2βi cov (RM,t , εit ) i |{z} σ2 = Variance totale Variance expliqu´e e De mani`re g´n´rale, la covariance entre deux actifs s’´crit (βi ,αi et

où il s’agit de calculer des produits scalaires par des méthodes variées, nous proposons des exercices dans lesquels le produit scalaire apparaît clairement comme étant un nouvel outil pour calculer des longueurs, des angles et démontrer une orthogonalité. Dans les exercices d’approfondissement, il est souvent possible d’utiliser un logiciel de géométrie dynamique pour conjecturer des propriétés, que l’on démontre ensuite en utilisant le produit scalaire de manière appropriée. Nous avons placé

possible de créer d’autres plans composites centrés en privilégiant plutôt la presque orthogonalité. Dans ce cas, le coefficient alpha dépend du nombre de points au centre (figure 6.55). On calcule alors le coefficient alpha au moyen de la relation : α = 4 Nb ( N – Nb ) 2 --------------------------------------4 avec N, nombre total d’essais. Figure 6.55 Plans composites privilégiant la « presque orthogonalité » Nombre de facteurs Plan factoriel de base (Nb) N0 = 1 N0 = 2 N0 = 3 N0 = 4 2 3 4 5

leurs vecteurs normaux sont orthogonaux. CARRÉ SCALAIRE est le nombre réel noté u ⋅ v et défini par : 1⎡ 2 ⎤ u ⋅ v = ⎢ u + v – u2 – v 2 ⎥. ⎦ 2⎣ Si α est une mesure de l’angle géométrique associé à  • Benoît Mandelbrot, explorateur du chaos ORTHOGONALITÉ DANS L’ESPACE Quels que soient les points A, B et C de l’espace : AB  +  BC  =  AC. Le produit scalaire de deux vecteurs u et v de l’espace • Libérez les mathématiciens ! MOTS CLÉS p. 46 p. 45 La norme d’un vecteur u =  AB est le nombre

- T ( x ,0 ) En remplaçant L ∞ L 0 0 ∞ T ( x ,0) = ∑ D n sin (ω n x ) , on obtient la somme infinie : par n =0 ∫ T (x ,0) dx = ∑ ∫ D n ψ n (ω n x ) ψ m (ω m x )dx 0 L On montre que si n ≠ m alors ∫ ψ n (ω n x ) ψ m (ω m x ) dx = 0 (orthogonalité des fonctions propres) 0 donc : L L 0 0 2 ∫ T (x,0) dx = ∫ D n ψ m (ω m x ) dx (h) On détermine la valeur des constantes Dm en égalant les expressions (g) et (h). Appliquons cette méthode à l’exemple traité : L L T − T0 On a : ∫ T ( x,0)

. . . . . . . . . . 10.4.3 Autres exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Espaces euclidiens 11.1 Produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.1 Produit scalaire et norme associée . . . . . . . . 11.1.2 Orthogonalité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.1.3 Familles orthogonales et familles orthonormales 11.2 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.1 Bases orthonormales . . . . . . . . . . . . . . . 11.2.2 Produits scalaires et matrices

21) expriment les propri´t´s fondamentales des e ee ´tats qui d´coulent des r`gles du comportement quantique ´num´r´es dans la e e e e ee section 9.4. De plus, les ´tats purs |i satisfont la relation (11.4) : e j | i = δij , (11.22) appel´e orthogonalit´. L’analogie de ces relations se trouve dans l’espace vectoe e riel. Les trois vecteurs unit´s qui d´finissent les axes du syst`me de coordonn´s : e e e e e i , i = 1, 2, 3 correspondent aux ´tas de base |i , i = 1, 2, 3. En effet, e (e i · e j )

- T ( x ,0 ) En remplaçant L ∞ L 0 0 ∞ T ( x ,0) = ∑ D n sin (ω n x ) , on obtient la somme infinie : par n =0 ∫ T (x ,0) dx = ∑ ∫ D n ψ n (ω n x ) ψ m (ω m x )dx 0 L On montre que si n ≠ m alors ∫ ψ n (ω n x ) ψ m (ω m x ) dx = 0 (orthogonalité des fonctions propres) 0 donc : L L 0 0 2 ∫ T (x,0) dx = ∫ D n ψ m (ω m x ) dx (h) On détermine la valeur des constantes Dm en égalant les expressions (g) et (h). Appliquons cette méthode à l’exemple traité : L L T − T0 On a : ∫ T ( x,0)

virtuelles et redéfinies comme les méthodes Les propriété en C# ont l'avantage important d'être utilisables dans le contexte de liaison dynamique d'une manière strictement identique à celle des méthodes en C# , ce qui confère au langage une "orthogonalité" solide relativement à la notion de polymorphisme. Une propriété peut donc être déclarée virtuelle dans une classe de base et être surchargée dynamiquement dans les classes descendantes de cette classe de base. Dans l'exemple ci-après semblable