Orthogonalité

orthogonal à tout vecteur de H. Donc x est dans H ⊥ . On vérifie que G = F ⊥ . Si x ∈ G, il est clair que x ∈ F ⊥ . Choisissons x ∈ F ⊥ et montrons que x ∈ G. On a x ∈ F ⊥ ssi ei , x = 0, ∀i = 1, . . . , p. Or ei , x = n xj ei , ej = xi ei 2 , par orthogonalité des e1 , . . . , en . Donc x ∈ F ⊥ j=1 ssi xi ei 2 = 0, ∀i = 1, . . . , p. Comme les vecteurs de la base ne peuvent être nuls, x ∈ F ⊥ ⇐⇒ xi = 0, ∀i = 1, . . . , p. Donc tout vecteur de F ⊥ est dans G. On voit donc que F ⊥ est un supplémentaire

CB) = π + 2k π. C ∈ AB  ⇔ B Propriété 7 Quatre points distincts A, B, C et D étant donnés, les droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si : ( AB, CD) = 0 + 2k π ou ( AB, CD) = π + 2k π. A B D C b. Orthogonalité Propriété 8 Quatre points distincts A, B, C et D étant donnés, les droites (AB) et (CD) sont orthogonales si et seulement si : π AB, CD = + 2k π 2 π ou AB, CD = − + 2k π. 2 ( 280 Séquence 4 – MA12 ( ) ) C D

(2) (qi ), et la procédure sont alors utilisées pour affiner le potentiel d’Hartree-Fock, VHF numérique est répétée jusqu’à ce que la différence de potentiel entre deux itérations successives atteigne la précision souhaitée. c) Propriétés ➤ Orthogonalité D’après (14.3.5), tous les électrons subissent le même potentiel VHF (qi ). C’est une propriété fondamentale de l’approximation d’Hartree-Fock. Une autre propriété importante, dont la démonstration est donnée dans l’exercice 14.3, est que deux

principale d’un angle orienté Définition 6.5 (Mesure principale). La mesure principale d’un angle orienté est l’unique mesure de cet angle orienté qui appartient à ] − π ; π]. 6.3.3 Angle nul, angle plat, angles droits Définition 6.6 (Colinéarité, orthogonalité). Soit u et v deux vecteurs non nuls du plan orienté. • Dire que u et v sont colinéaires revient à dire que la • Dire que u et v sont orthogonaux revient à dire que la mesure principale de (u ; v) est 0 (angle nul) ou est π (angle plat).

applications Livre du professeur Or, si on suppose u = v , alors u 2 = v 2 et – 3 u 2 + 3 v 2 = 0. On a donc u + 2v 2 – 2u + v 2 = 0 , ce qui équivaut à u + 2v 2 = 2u + v 2 , ce qui équivaut à u + 2v = 2u + v (les normes étant positives). 3. Orthogonalité 79. AB et BC ; AO et BD ; BC et DC ; CA et BD ; OB et OC . 80. 1. u $ v = (– 2) # 0 + 1 # (– 1) = – 1 : les vecteurs u et v ne sont pas orthogonaux. 2. u $ v = 3 # (– 4) + 4 # 3 = 0 : les vecteurs u et v sont orthogonaux. 3. u $ v = 5 # 4

toujours lin´eaire. Pour cela on remarque que l’image d’une base orthonorm´ee ei par f est une base orthonorm´ee, soit f ei . Soient maintenant x1 , x2 , x3 trois scalaires quelconques. Consid´erons le vecteur y = f(xi ei ) − xi f(ei ) . On a, par orthogonalit´e de f, ∀j, f(ej ) · y = ej · xi ei − xi ej · ei = xj − xj = 0 , d’o` u y = 0, CQFD. On peut donc introduire un tenseur L tel que ∀M, AM = L · A0 M0 ⇐⇒ x − xA = L · (X − XA ) , (2.33) c’est-`a-dire que l’on a affaire ` a une transformation

x, y + y . ❑ La seconde égalité est une conséquence directe de la première. Exemple La seconde égalité permet de déterminer si une application donnée N de E vers R+ est une norme euclidienne associée à un produit scalaire. 1.3 Orthogonalité Vecteurs orthogonaux Définition 3 Deux vecteurs x, y de E sont dits orthogonaux si x, y = 0. On notera alors x ⊥ y. Exemples 1. Les vecteurs (1, 2) et (−4, 2) sont orthogonaux puisque 1 × (−4) + 2 × 2 = 0. 2. Les vecteurs de la base canonique

120 000 cos 50° = 104(13 + 12 cos 50°). Donc R 5 455 N. 2 2 2 2 2 55 1. w y = ΂ ur + xv΃ e = ʈ ur ʈ + x ʈ ve ʈ + 2xur · vr = 4 + x2 – 2x = x2 – 2x + 4. 2. ʈ yw ʈ = 3 ‹ x2 – 2x – 5 = 0. 6 = 24 ; x1 = 1 + 16 et x2 = 1 – 16. PRODUIT SCALAIRE ET ORTHOGONALITÉ 56 EAB(3 ; 1) ; RAC(5 ; – 5) ; EBC(2 ; – 6). EAB · EBC = 0, donc le triangle ABC est rectangle en B. 57 TAM(x ; –1) et RBM(x – 5 ; – 4). ABM rectangle en M ‹ YAM · RBM = 0 ‹ x2 – 5x + 4 = 0 ‹ x = 1 ou x = 4. AG2 = AC2 + CG2 = 3a2 ; d’où : AG

résultat. c. Lorsque f est minimale, l’opposée de son inverse est minimale, d’où cos θ est minimal. d. La fonction cosinus étant décroissante, l’angle est maximal lorsque le cosinus est minimal. 1 cos θmin = 1 − = −0,5 d’où θmin = 120°. 2 3 Orthogonalité et calcul de volume TP 3 COMMENTAIRE Ce TP permet un travail important sur les coordonnées, les équations de plan et de droite, le calcul de longueur dans l’espace. L’appui du logiciel est ici fondamental pour comprendre le lieu de point

ÑÓÒØÖ Ö ´ÇÒ ÓÑÑ Ò Ö Ô Ö ÑÓÒØÖ Ö Ð Ö ×ÙÐØ Ø ÔÓÙÖ ØÓÙØ È ÔÓÐÝÒÑ × Ê¾Ò ½ ℄º ¦ ÔÖ ℄ Ñ ÐÐ ÕÙ Ð Ö ×ÙÐØ Ø ×³ Ø Ò ½ ÙÜ ❏ Soit È ¾ ʾҠ½ ℄. On effectue la division euclidienne de È par ÈÒ , ce qu’on ´ ecrit È ÈÒ É · Ê avec É Ê ¾ ÊÒ ½ ℄. Alors, par orthogonalit´e de ½ É et de ÈÒ : ÈÉ È´Øµ ɴص ۴ص Ø,  ½ Ò et on orthonormalise la famille ´ Ò µÒ¾Æ par la m´ethode de MM. Gram Ê´ µ ȴص ۴ص Ø ÈÒ ´Øµ ɴص Ø · ʴص ۴ص Ø et Schmidt. On obtient alors une famille ´ÈÒ µÒ¾Æ de polynˆ omes telle que ½ ßÞ È