Orthogonalité

entre –1 et 1, et il existe donc un angle compris entre 0 et π radians dont le cosinus est égal au rapport Par définition, cet angle unique α compris entre 0 et π, vérifiant : cos α = = . est appelé l'angle des deux vecteurs non nuls X et Y. d) Orthogonalité. Etant donnés deux vecteurs X et Y de R n et un produit scalaire Φ sur R n, on dit que X et Y sont Φorthogonaux (ou simplement "orthogonaux" s'il n'y a pas de confusion à craindre) si, et seulement si, leur produit scalaire est nul : Φ (X, Y) =

–1 et 1, et il existe donc un angle compris entre 0 et π radians dont le cosinus est égal au rapport . Par définition, cet angle unique α compris entre 0 et π, vérifiant : cos α = = est appelé l'angle des deux vecteurs non nuls X et Y. d) Orthogonalité. Etant donnés deux vecteurs X et Y de R n et un produit scalaire Φ sur R n, on dit que X et Y sont Φorthogonaux (ou simplement "orthogonaux" s'il n'y a pas de confusion à craindre) si, et seulement si, leur produit scalaire est nul : Φ (X, Y) =

espace vectoriel, A application linéaire de E dans E d’ascente et de descentes finies valant a. Alors : E = ker(Aa ) ⊕ Im(Aa ), et A est bijectif dans Im(Aa ). ∞ n=0 P 4.2 P 4.3 P 4.4 P 4.5 P 4.6 Propriétés du transposé Transposition et orthogonalité Théorème de l’image fermée Série de Neumann Propriétés du spectre An ]. P 4.7 P 4.8 Formule du rayon spectral (cf. D 4.7) Spectre du transposé P 4.9 Noyaux itérés (suite (N) et ascente p) Images itérés (suite (I) et descente q)

posant on a l’égalité suivante : .(carré scalaire de norme de au carré longueur AB au carré).Conséquences : les identités remarquables avec le produit scalaire . Exemple d’utilisation : Sachant que , et , calculer et en déduire ..Ainsi, d’où . d. Orthogonalité de 2 vecteurs Propriété : Dire que et sont orthogonaux signifie que . Exemple d’utilisation :On considère les points , , et .Prouver que les vecteurs et sont orthogonaux.c’est-à-dire  .De même, .Ainsi, .Nous pouvons donc conclure que les vecteurs et sont

des colonnes ; (3), si la somme est égale à zéro, les colonnes sont orthogonales et les effets représentés par ces colonnes sont alors dits orthogonaux. Tableau 5.1 : Plan factoriel complet Scénarios Format Fréquence Nb gagnants Orthogonalité no 1 1 1 1 –3 no 2 1 1 2 –1 no 3 1 2 1 –1 no 4 1 2 2 1 no 5 2 1 1 –1 no 6 2 1 2 1 no 7 2 2 1 1 no 8 2 2 2 3 Σ=0 Par exemple

21.2.6 Primitives rationnelles en sh , ch . . . . . . . . . . . . . . . . 21.2.7 Primitives avec des racines. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 Produit scalaire 22.1 D´finitions et r`gles de calcul . . . . . . . . . . . . . . e e e 22.2 Orthogonalit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.3 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4 Matrice de produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . 22.6 Projecteurs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 224 224 226 226 227 228 228 229 230 230 230 22 Produit scalaire 22.1 D´finitions et r`gles de calcul . . . . . . . . . . . . . . e e 22.2 Orthogonalit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 22.3 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4 Matrice de produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . 22.6 Projecteurs

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 224 224 224 226 226 227 228 228 229 230 230 230 22 Produit scalaire 22.1 D´finitions et r`gles de calcul . . . . . . . . . . . . . . e e 22.2 Orthogonalit´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . e 22.3 Espaces euclidiens . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.4 Matrice de produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . 22.5 Endomorphismes orthogonaux, matrices orthogonales . 22.6 Projecteurs

= β(β sin(θ) + γ cos(θ)) − γ(β cos(θ) − γ sin(θ)) = (β2 + γ2 )sin(θ). Par le même raisonnement que précédemment, on en déduit que detC (u ,s(u ),u) = (β2 + γ2 )sin(θ) et donc que detC (u ,s(u ),u) et sin(θ) ont même signe strict. 2. Orthogonalité Dans un premier temps, nous allons montrer que la matrice A est orthogonale. On a  1 1 √ AtA = 6 3 √ 2  1 0 = 0 1 0 0 √   √  √ √ 6 2 6 2 1 √ √ √  1 6 0 − 3 0 − 3 √ √ 3 √ − 3 2 2 − 3 2  0

http://c.caignaert.free.fr y (x1,ax1+b) (x1,y1) O x Figure 2 – Méthode des Moindres Carrés Les réels a et b sont alors les coordonnées de la projection orthogonale du vecteur indiqué dans cette base (non orthonormale). En écrivant les orthogonalités voulues, on obtient le même système. 17. 17.1. Groupe linéaire Groupe Linéaire et Groupe Orthogonal Théorème : E un K espace vectoriel. L’ensemble des isomorphismes de E, muni de la loi ◦ de composition des applications est un groupe