Parabole

La fonction carré est la fonction f définie sur par . Propriété : La fonction carré est strictement décroissante sur l’intervalle et strictement croissante sur l’intervalle . Remarques : - La courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O. - Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées. 3) Fonction inverse Définition : La fonction inverse est la fonction f définie sur \ par . Propriété : La fonction

un repère (O,I,J) s'appelle une parabole. Cette parabole passe en particulier par les points A(1 ; 1), B(2 ; 4), C (3 ; 9), A' (-1 ; 1), B' (-2 ; 4) et C' (-3; 9).Remarque : Les points A et A' sont symétriques par rapport à l'axe des ordonnées (OJ). Il est est de même des points B et B', et C et C'. D'une façon générale,pour tout x, (-x)² = x² d'où f (-x) = f (x) On en déduit que pour tout x, les points M(x ; x²) et M'(- x ; x²), sont deux points de la parabole et que M et M' sont symétriques

l’intervalle  Cas où est croissante sur l’intervalle décroissante sur l’intervalle  Tableau de variation et est abscisse du point au sommet S  Allure de la courbe : la courbe représentative d’une fonction polynôme est une parabole La fonction admet un minimum pour maximum vaut : ou un maximum pour II. Résolution d’une équation du second degré , ce minimum ou avec Pour résoudre une équation du type On calcul le discriminant delta noté . est donné par la

Exercices coniques corrigés  →  → Le plan euclidien P est rapporté à un repère orthonormal (O; i , j ) 1-) a-) 1 Déterminer une équation cartésienne de la parabole de foyer F , 2 et de directrice D: x = 3.   2  –––––––––––––––– On appelle (P) cette parabole. 2 1 (x – 3)2 M(x, y)∈(P) ⇔ MF2 = d(M, D)2 ⇔  – x + (2 – y)2 = 2 2  1 + 02   1 M(x, y)∈(P) ⇔ – x + x2 + 4 – 4y + y2 = x2 – 6x + 9 4 Une équation cartésienne de (P) est donc: 4y2 + 20x – 16y –

- quand x négatif augmente, alors y=x² diminue (la fonction « carré » inverse l’ordre sur les négatifs); II. Variations des fonctions trinômes sous forme canonique. 1. variation des fonctions f(x) = ax² La RG d’une fonction f(x)=ax² esr une parabole tournée vers le haut (U) si a est positif, tournée vers le bas (∩) si a est négatif 2. forme canonique Définition : l’écriture canonique d’une fonction est l’écriture sous la forme f(x) = a(x-)²+, où a,  et  sont des réels donnés Exemple

condition initiale : = vo.t + qU.t2/(2m.d) L'équation paramétrée par le temps t de cette trajectoire est : {x = vot ; y = qU.t2/(2m.d)} ; en éliminant la variable t entre les deux équations il vient : y = (qU/2md)(x/vo)2 équation d'une parabole de sommet O(0, 0). Le point de sortie de la région située entre les plaques, S, est obtenu en consdérant qu'en S : xS = L. Donc S est atteint à l'intant tS = L/vo, d’où la position de S : = L + (L/vo)². qU/(2m.d) ainsi que le vecteur vitesse

Exercice 27 [ 01346 ] [correction] Calculer la courbure en tout point des courbes suivantes : a) la parabole d’équation y 2 = 2px avec p > 0 b) la chaînette d’équation cartésienne y = chx. 2 2 c) l’ellipse d’équation x2 + y2 = 1 avec a, b > 0. a b d) la courbe d’équation cartésienne 2ex+y = (1 + ex )(1 + ey ). Exercice 31 Calculer [ 01351 ] [correction] I= Γ x dy + y dx où Γ est l’arc de parabole y = x2 allant de O à A(2, 4). [http://mp.cpgedupuydelome.fr] dD Exercice 32 Calculer [ 00103

sur R par g(x) = - 5 x ²+ 25 x + 30,   et C g sa parabole dans un repère (O ; i ; j ). 1. Déterminer les coordonnées du sommet S de C g La courbe représentative de g est une parabole tournée vers le bas (a = -5 < 0) b 5 Son sommet S a pour coordonnée (  ; ) où  = - = ( avec a= -5 ; b = 25 et c = 30) 2a 2 5 25 125 245 Et  = g() = g( ) = - 5  + + 30 = = 61,25 2 4 2 4 5 245 Donc S( ; ) est le sommet de la parabole C g 2 4 2. Déterminer les coordonnées des points d’intersection

verticale augmente linéairement Un joueur de basketball peut apparaître rester à une hauteur constante pendant des périodes brèves de temps en manipulant les segments corporels autour de con centre de masse. LE CM SUIVRA TOUJOURS LE CHEMIN D’UNE PARABOLE PENDANT QUE LE CORPS EST EN L’AIR ! Cas du mouvement uniformément accéléré. STABILITE DE L’EQULIBRE Stabilité de l'équilibre : D'un point de vue mécanique se tenir debout cela signifie assurer un équilibre. On peut définir l'équilibre avec

forme canonique de T (c'est-à-dire l'écriture de T où la variable x n'apparaît qu'une seule fois, à la puissance 1) est, pour tout réel x : T(x)=a[(x+b2a)2−Δ4a2] BLes racines Si Δ0, alors la parabole décroît puis croît et le trinôme admet donc un minimum (égal à l'ordonnée du sommet de la parabole) ; si a