Parabole

. . . . . . . . . . . . page 2 La parabole (e = 1) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 3 3.1 Définition d’une parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 3 3.2 Equation réduite d’une parabole . . . . . . . . . . . . . . . . . .

variation : La courbe repr´sentative de f est une parabole de sommet S admettant la droite e −b pour axe de sym´trie. e d’´quation x = e 2a On d´termine les variations de f avec le signe du coefficient a de x2 , il y a deux cas : e 2.2 A partir de la forme canonique f (x) = a(x − α)2 + β Coordonn´es du sommet S : e Abscisse du sommet : xS = α Ordonn´e du sommet : yS = f (xS ) = β e Tableau de variation : La courbe repr´sentative de f est une parabole de sommet S admettant la droite e d’´quation

est appelée forme canonique du polynôme ax 2 + bx + c . Le nombre ∆ = b 2 − 4ac est le discriminant du polynôme ax 2 + bx + c ou de l’équation ax 2 + bx + c = 0 . • La représentation graphique de tout polynôme du second degré ax 2 + bx + c est une parabole admettant un axe de b symétrie d’équation x = − . 2a ( ) III) Equation ax 2 + bx + c = 0 , factorisation du polynôme ax2 + bx + c Théorème : Soit le polynôme ax 2 + bx + c , a ' 0 de discriminant ∆ = b 2 − 4ac . Signe de ∆ Résolution de

Représentation À l’équation x 2 + 4 x - 5 = 0 correspond la fonction x:  x 2 + 4 x - 5. On a vu en seconde que la représentation d’une fonction polynôme de degré 2 est une courbe appelée parabole. Cette parabole peut être orientée vers le haut (si a > 0) ou vers le bas (si a < 0). Parabole orientée vers le haut Parabole orientée vers le bas 3/ Inéquations du second degré On dit que - 1 et 3 sont les solutions de l’équation x 2 - 2 x - 3 = 0. On dit que - 1 et 3 sont les racines du polynôme x 2 - 2

1. yA = (– 3)2 = 9 ; yB= 12 = 1. 2 2. a) 0 < x < 9 ; 2 b) 0 < x < 1 ; 28 1. yA = (– 13)2 = 3 ; yB= (15)2 = 5. 2. a) x2 у 3 ; b) x2 у 5 ; – – – – –5 | 0 | 0 – + – + +∞ 1 | | 0 0 – + + – 3. La parabole d’équation y = – 3x2 – 12x + 15 coupe l’axe des abscisses aux points A(– 5 ; 0) et B(1 ; 0). Elle est au-dessus de l’axe des abscisses sur l’intervalle ]– 5 ; 1[ et au-dessous sur la réunion d’intervalles ]– ∞ ; – 5[ ∪ ]1 ; + ∞[. c) 0 р x

que l’abscisse du sommet est entre (-2,1) et son ordonnée (0,2). a (x - x1) (x - x2) Donc on a f(x)=a(x-(-2))(x-1) ou a(x+2)(x-1) = a(x²+x-2) éq a -2a=2. Donc a=-1. En développant, on trouve f(x)=-x²-x+2 3. Comme la parabole passe par l’origine, c=0. ax² + bx + 0 On sait que x=3 et f(3)=1 On a donc f(3)= ax3²+bx3+0 = 9a+3b=1 Donc la fonction est f(x)= (3x)carré+3b-1 Exercice 2 : 1. Pour trouver b(x), on remplace b(x) et x par leurs valeurs. On a donc 900= -40carré

correspond à l’équation (x - 7)(2x - 11) = 0. (aide : l’étude de la situation conduit à utiliser le 1) ) b) Résoudre cette équation puis conclure. SUPPLEMENT (très conseillé pour les élèves envisageant une filière S) Retrouver le sommet S de la parabole , courbe représentative de la fonction p: x ⟼ -5 x2 + 3,2 x + 5. On donnera les valeurs exactes des coordonnées. 

courbe représentative de la fonction carré, est appelée parabole. ex : Les récepteurs satellites sur les toits sont appelés « paraboles » parce que leur forme est celle de la parabole ; cette courbe a la particularité de concentrer les rayons réfléchis en un même point, appelé foyer de la courbe (la où se trouve la tête du récepteur) ; ainsi, on a un récepteur de petit taille qui reçoit aussi bien qu’un récepteur qui aurait la taille de la parabole. 3 F 2) Equation x 2 = a : 2 Propriété 4

plan médiateur de A et B. 2°) Cercle : L’ensemble des points du plan qui sont tous à une distance imposé d’un point fixés. Remarque : Dans l’espace, on obtient une sphère. http://serge.mehl.free.fr/anx/anx_gif/parabole1.gif3°) Le lieu d’une parabole : L’ensemble des points du plan qui vérifie l’équation y=x² dans un repère donné. Conséquences de l’exploration 1 : 1°) Le lieu géométrique des points du plan à une distance imposé d d’une droite est formé de deux droites parallèles à la distances

l’expression algébrique de f(x) de la fonction f et sa représentation graphique, identifier, parmi les trois coefficients a, b ou c, celui dont la seule variation produit l’effet décrit et compléter le tableau ci-dessous : |Effet produit sur la parabole représentant la fonction f définie par f(x) = ax2 + b x + c |Identification du | |