Permutation circulaire

non pas de cryptographie : l'information est cachée et non pas codée. 3. La substitution mono-alphabétique Définition : La substitution mono-alphabétique consiste à remplacer dans un message chaque lettre de l'alphabet par une autre. C’est une permutation des lettres de l’alphabet. On dit alphabet désordonné. Exemple : Chiffrement Atbash Clair :   A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T U V W X Y Z Chiffré : z y x w v u t s r q p o n m l k j i h g f e d

matches sélectionnés. Combinatoire et dénombrement page 3 G. COSTANTINI http://bacamaths.net/ 3. Dénombrement des Arrangements et des Permutations 3.1. Définition Soit E un ensemble de cardinal fini n et p un entier naturel tel que 0  p  n. Un p-arrangement (ou arrangement de p éléments) de E est une p-liste d'éléments distincts de E. Une permutation de E est un arrangement des n éléments de E. Un arrangement est donc une p-liste dans laquelle il n'y a pas de répétitions. Exemples : · E =

min´ralogiques aux U.S.A. sont form´es de 3 lettres, e e suivies de 3 chiffres. – Quel est le nombre de plaques min´ralogiques possibles ? e – Quel est le nombre de plaques qui commencent par la lettre U ? Analyse combinatoire 4 2. Permutations D´finition : une permutation de n ´l´ments distincts e1, . . . , en est un e ee r´arrangement ordonn´, sans r´p´tition de ces n ´l´ments. e e e e ee Exemple : ”a”, ”b” et ”c” sont trois ´l´ments. Les arrangements possibles ee sont abc, acb, bac, bca, cab, cba

Il s’agit d’un arrangement sans répétitions car l’ordre importe, et on prend p éléments  de n.  La formule est :  6! = 3! = 1*2*3 = 8   (6 − 4)! On peut constituer 8 suites.  Pour 6 billes avec 8 couleurs disponibles , la formule est :     2.2  Il s’agit d’une permutation sans combinaisons  La formule est : 128 !            8! = 4! = 1* 2 * 3* 4 = 24   (8 − 6)! Partie 3  3.1   A ⋃ B = ]‐  ∞  ;1]U[2 ;+  ∞  [  A ⋂ B = [3 ;8]  Ce(A) = ]1 ;+  ∞  [  A ∖ B = ]‐  ∞  ;1]  B ∖ A = [2 ;3]  A  Δ  B = [3 ;8]    3.2  1. U

formules de permutations, d’arrangements et de combinaisons possède d'importantes applications dans de nombreuses branches des mathématiques, comme par exemple le calcul des probabilités et des statistiques, où elles peuvent servir à compter le nombre de cas favorables et/ou possibles des événements d’une expérience aléatoire. Soient deux éléments a et b : Si (a , b)  (b , a), on parle de disposition ordonnée. Si (a , b)  (b , a), on parle de disposition non ordonnée. 1.1. PERMUTATIONS. Une permutation

possible d’un tirage de 4 boules successivement et sans remise d’une urnes contenant 6 boules et un arrangement de 4 éléments parmi 6 . 7/Notion de permutation  Définition  Soit E un ensemble de cardinal [pic], on appelle permutation de E tout arrangement de tous les éléments de E . Théorème |Soit [pic], le nombre de permutation des éléments de E de cardinal n est égal à [pic] | 8/Notion de combinaison  Définition 

qu’il y est remise ou non II . Analyse combinatoire sans remise / répétition A . Les permutations sans répartitions 1 . Définition Une permutation de N élément, est une disposition ordonnée de ces N élément, chacun d’eux y figurant une fois et une seule. 2 . Hypothèse - l’ordre du tirage des éléments compte - il n’y a pas de remise, pas de répétition 3 . Formule On calcul le nombre de permutation N! = N ( N - 1) ( N - 2) … 2  1 Lorsque N est très grand on peut utiliser la formule de

exercices pos´s dans ce polycopi´ e e ne sont pas r´dig´es. e e October 3, 2003 2 Contents 1 Pr´requis e D´nombrements e Th´orie des ensembles e 1.1 D´nombrement. Analyse combinatoire . e 1.1.1 Principe multiplicatif . . . . . . . 1.1.2 Permutations sans r´p´titions . . e e 1.1.3 Les arrangements sans r´p´tition e e 1.1.4 Combinaisons sans r´p´titions . . e e 1.2 Th´orie sommaire des ensembles . . . . . e 1.2.1 D´finitions . . . . . . . . . . . . . e 1.2.2 Propri´t´s . . . . . . . . . . .

configurations possibles à l'issue de l'expérience est égal à : B) Permutation 1- Evaluation de produit en marketing Mode d'enquète 1: On fait tester par un sujet 3 téléphones portables de marques différentes A, B et C : combien y a-t-il de rangements possibles de ces 3 produits par ordre de préférence ? On peut le vérifer en les listant tous : (A,B,C) (A,C,B) (B,A,C) (B,C,A) (C,A,B) (C,B,A) 2- Permutation: cas général On appelle factorielle, notée n!, la fonction qui à

};{b, c};{b, d };{c, d } n3 = 6 Disposition de deux éléments de E non ordonnées avec répétition : n3 + {a, a}; {b, b}; {c, c} n4 = 10 Comparaison : n2 > n1 > n4 > n3 Exercice 2 : a- E = {a1 , a2 ,L, an } On montre que : Pn = n! P = {Permutation} = {(a1 , a2 ,L, an ) / a1 ∈ E , a2 ∈ E − {a1}, a3 ∈ E − {a1 , a2 }L an ∈ E − {a1 , a2 ,L, an −1}} on pose : E = En E − {a1} = En −1 E − {a1 , a2 } = En − 2 M E − {a1 , a2 ,L, an −1} = E1 d ' ou : P = {(a1 , a2 ,L, an ) / a1 ∈ En