Pile ou face

p(A) p(B) 5. Pour A ∈ P(Ω) et B ∈ P(Ω) on a p(A ∪ B) = p(A) + p(B) − p(A ∩ B) 2 Variable aléatoire. L’univers des possibles n’est pas toujours un ensemble numérique et ordonné : par exemple si on considère un jeu de pile ou face les issues possibles sont « piles »et « face ». Afin de pouvoir effectuer des calculs sur de tels univers on se munit d’une fonction, notée X et appelée variable aléatoire, qui agit sur l’ensemble des issues possibles (d’où le qualificatif d’aléatoire)) et qui est à valeur

([X < 5]) = 1/3 ; P ([X > 5]) = 1/2 ; P ([X = 3]) = P ([X = 4]). P ([X = 3]) = P ([X = 4]) = a, P ([X = 5]) = b, P ([X = 6]) = c, avec 2a + b + c = 1, c = 1/2 1 1 et 2a = . Donc a = , c = 1/2 et b = 1 − 2a − b = 1/6. 3 6 2. * On joue a pile ou face avec 2 pi`ces. Soit X le nombre de piles obtenus. D´terminer la loi de X, son ` e e esp´rance et sa variance. e 1 Ω = {(p, p), (p, f ), (f, p), (f, f )}. X(Ω) = {0, 1, 2} avec P ([X = 0]) = P ({(f, f )} = , 4 1 1 P ([X = 1]) = P ({(p

obtenus parmi les ��1 , … , ���� ; elle suit la loi binomiale de paramètres ��, �� . Cette loi de probabilité est donnée par ℙ �� = �� = �� ���� �� ��−�� , �� ∈ 0,1, … , �� �� Supposons un individu (ou « particule ») sur un escalier, qui tire à pile ou face pour décider si le prochain pas sera vers le haut ou vers le bas. À chaque étape, il n'y a que deux choix possibles : sur cet exemple, un pas en avant ou un pas en arrière. Notons à l'instant �� ∈ ℕ∗ : Zn = +1 si le marcheur avance d'un pas, Zn

FUCHS e CALCUL DES ´ PROBABILITES Cours, exercices et probl`mes corrig´s e e ´ SECONDE EDITION : 1998 ISBN 2 10 007547 0 Dunod, Paris 1 ` TABLE DES MATIERES Pr´face . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ix e Pr´face de la premi`re ´dition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . x e e e Liste des symboles utilis´s . . . . . . . . . . . . . .

symboliques associées aux hexagrammes. Le tirage au sort d’un numéro détermine la position par rapport à la table du Yi-King de l’objet ou du matériel choisit par Cage au préalable. Il faut jeter six fois trois pièces de monnaie et chaque combinaison pile ou face correspond à une sorte de ligne continue ou discontinue. Le processus, le geste de tirer au sort relève du hasard et c’est cette démarche qui intéresse Cage. Ainsi, des 1952 il fait régulièrement usage des opérations du hasard à l’aide du Yi-King

demande alors à chaque personne interrogée de se retirer dans une pièce isolée, et de jouer à pile ou face. - si elle obtient « pile » alors elle doit répondre honnêtement par « oui » ou « non » à la question « Votre déclaration fiscale est-elle honnête ? » - si elle obtient « face », elle devra lancer la pièce une nouvelle fois et répondre par « oui » ou « non » à la question « Avez-vous obtenu « face » au deuxième tirage ? ». Grâce à ce procédé, il est impossible à l’enquêteur de savoir à quelle

7 × 6 = 336. 1.2.2 Arrangements avec répétitions Le nombre d’arrangements avec répétitions de p objets pris parmi n est np (tirages avec remise). Exemple. On lance 3 fois une pièce de monnaie. Combien y a-t-il de suites différentes de pile ou face ? Il y en a : 2 × 2 × 2 = 8. 1.3 Combinaisons Définition 1.4. Soit E un ensemble à n éléments. Soit p ≤ n, une combinaison de p éléments choisis parmi n est un sous-ensemble de E ayant p éléments. Exemple. Tirage simultané de p boules

une voiture dans un centre-ville embouteillé, vous jouez un jeu, lorsque à un croisement vous faites semblant de foncer en essayant d'intimider l'autre vous jouez un jeu, quand sur une route à deux voies, vous doublez obligeant celui qui arrive en face à descendre sur le bas côté vous jouez un jeu car vous ne savez pas si l'autre va être sensible à votre menace et si, à son tour il ne tentera pas de vous bluffer en vous laissant croire qu'il ne craint pas le choc, c'est peut- être alors vous

aX + bY + C . Cas de la variable X1 + X2 + · · · + Xn . Variables aléatoires. Couples de variables aléatoires. Sommes de variables aléatoires indépendantes. Exemple. Exemple On lance 3 fois de suite une pièce équilibrée. pile : on gagne 2= C, face : on perd 1= C. Quelle est la probabilité de gagner 3€ ou bien de perdre 2€ ? Modélisation : ys dite lae ter . C n in A o si ffu di tous les lancers possibles (l’univers). chance d’obtenir chacun des lancers (probabilité)

ci-dessous, une seule des quatre réponses proposées est exacte. On demande à chaque fois d’indiquer laquelle, sans donner de justification. 1. a. On lance une pièce de monnaie six fois de suite et on note, à chaque lancer, le nom du côté visible (Pile ou Face). Le nombre de résultats possibles est : 26 6! 62 C2 . 6 b. On prend simultanément deux cartes au hasard parmi six cartes distinctes et on note l’ensemble de deux cartes obtenu. Le nombre de tirages possibles est : 26 6! 62 C2 . 6 c. Six