Polynôme minimal

3. Déterminer le polynôme p(x), sous deux formes, tel que: p(−1) = 8, p(0) = 3, p(1) = 6. Exercice 2 On considère les points A0(−2, 3);A1(−1, 1);A2(1, 5);A3(2, 11) et on désigne par Pn le polynôme d’interpolation de Lagrange passant par les points A0, ..., An, (n ∈ {1, 2, 3}). 1. Calculer P1(x) et P2(x). 2. Sans calculer P3(x), montrer que P3(x) = P2(x). Exercice 3 1. (a) Calculer le polynôme d’interpolation, P , aux points: (-1,2), (0,1), (1,2) et (2,3). (b) Soit Q le polynôme d’interpolation aux

entier vérifiant 1 r n. 3. Polynôme interpolateur de Lagrange : on note Rr−1 [X] le R-espace vectoriel des polynômes à coefficients réels de degré inférieur ou égal à r − 1. On considère l’application linéaire φ de Rr−1 [X] dans Rr définie par : P → (P (λ1 ), P (λ2 ), . . . , P (λr )). Déterminer le noyau de φ, puis en déduire qu’il existe un unique polynôme L de Rr−1 [X] tel que pour tout i ∈ {1, . . . , r}, L(λi ) = eλi . 4. Pour i ∈ {1, . . . , r}, on définit le polynôme li de Rr−1 [X] par : r

Indépendamment des contraintes de stabilité et de causalité, les spécifications à respecter sont les suivantes. a. Spécification structurelle La structure de la FTBF(z) doit être la plus simple possible. En d’autres termes elle doit comporter un nombre minimal de pôles et de zéros. b. Spécification en régime permanent Le correcteur doit permettre d’annuler l’erreur permanente correspondant à une entrée (consigne) yc (t ) polynomiale d’ordre n. yc (t ) = YP 0 + Yv 0t + ... + Yn 0 tn u (t ) n! et

Plan du cours •  •  •  •  Introduction : Notion de code Définition, distance, effacements et erreurs Code de Hamming Codes détecteurs d erreur –  LFSR et polynômes. Corps de Galois. –  Codes CRC –  Propriétés. Applications •  Codes correcteurs : Code linéaire, Reed Solomon –  Codes cycliques et Reed-Solomon •  Autres codes et applications –  Rafales d erreurs. Code CIRC. 55 Exemple: contrôle de parité dans TCP 7 Application (HTTP,FTP, DNS) 4 Transport (TCP, UDP)

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Sous-groupes Groupes quotients 0.4 0.5 0.6 0.7 Anneaux et corps . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et algèbres L'anneau des polynômes Matrices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . A[X] 1 La division euclidienne dans l'anneau Z et ses conséquences 1.1 1.2 1.3 1.4 1.5 1.6 1.7 1.8 La division euclidienne . . . . . . . . . . . . .

l'égalité 17 IV.2.e. Troisième étape : minoration17 IV.2.f. Quatrième étape : majoration18 V. Transcendance de π21 V.1. Préliminaires21 V.1.a. Propriétés des nombres algébriques 21 V.1.b. Polynômes symétriques22 V.2. Démonstration de la transcendance de π24 V.2.a. Formule d'Euler24 V.2.b. Définition d'un polynôme à coefficients entiers24 V.2.c. Un multiple de p.26 V.3. Une égalité impossible29 V.3.a. Minoration du terme de gauche 29 V.3.b. Majoration du terme de droite 30 V.3.c. Conclusion31

DEUG II MATHEMATIQUES ALGEBRE 4 COURS ET EXERCICES RESOLUS Dr Ko¢ Germain ABALO 3eme édition - Table des matières 1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES REDUCTION DE JORDAN 1.1 POLYNOMES D’ ENDOMORPHISMES . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.1 Résultats de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.2 Polynôme minimal d’ endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . un 1.1.3 Sous espace caractéristique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1.4 Etude

Efficace: Il faut que le programme exécute sa tâche avec efficacité c’est à dire avec un coût minimal. Le coût pour un ordinateur se mesure en termes de temps de calcul et d’espace mémoire nécessaire. Exemple : Calcul de la valeur d’un polynôme   Soit P(X) un polynôme de degré n P(X) = anXn + an-1Xn-1 + ... + a1X + a0 Où,   n : entier naturel an, an-1, ..., a1, a0 : les coefficients du polynôme Coût de l’algorithme : - (n+1) additions - (n+1) multiplications - (n+1) puissances

7 . . 7 . 7 . 8 . 9 . 10 Dans ce chapitre, l’anneau ( , +, ×) désigne ( , +, ×) ou ( [X ], +, ×). Pour a ∈ , on note |a| : la ˜ valeur absolue de a si = et |a| = deg(a) si = [X ]. Pour a ∈ non nul, on note a : la valeur absolue de a si = et le polynôme a normalisé si = [X ]. I) 1) Divisibilité Rappels • Division euclidienne dans : Soient a, b ∈ avec b = 0, alors il existe q, r ∈ uniques tels que a = bq + r avec 0 r < |b| . Soient A, B ∈ [X ] avec B = 0, alors il existe Q, R ∈ [X ] uniques

Structures algébriques     Lois de composition interne Groupes Anneaux Corps Chapitre 3 : Arithmétique dans Z     Division euclidienne dans Z PGCD Nombres premiers Congruences Chapitre 4 : Polynômes & Fractions rationnelles  Définition formelle des polynômes  Divisibilité, pgcd, Irréductibilité, racines…  Fractions rationnelles, Décomposition en éléments simples N.B : le contenu de ce polycopié sera enrichi, développé par d’autres exemples, d’autres résultats,…, donc