Polynôme minimal

temporels: Considérons ( ) ( ) ( )pD pNpF = avec deg(N)≤deg(D) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )pD pN pD pN pD pN pD pNpF 3 3 2 2 1 1 ++== Avec: 1- D1(p) est un polynôme ayant toutes les racines simples, 2- D2(p) est un polynôme ayant toutes les racines complexes conjuguées deux à deux, 3- D3(p) est un polynôme ayant des racines multiples. - Cas 1: Si les pôles sont simples ( ) ( ) 1 1 1 1 0 0 1 1 − − − ++ − + − = n n pp A pp A pp A pD pN LLL Avec:

Le support physique ne peut pas faire circuler des signaux de n’importe quelle fréquence sans perte d’énergie et par conséquent d’amplitude. Définition 8 (bande passante) Chaque support admet une fréquence de coupure basse, qui indique la fréquence minimale pouvant circuler, et une fréquence de coupure haute, fréquence maximale pouvant circuler. La bande passante est la différence entre la fréquence de coupure haute et la fréquence de coupure basse. 14 On tolère un affaiblissement de puissance

données 10 Détection d’erreur par CRC (Cyclic redundancy Code) – Basée sur des calculs de division de polynôme à coefficient dans [0, 1] – Exemple: 1 0 1 0 1 correspond à x4+x2+1 – Division de x3+x2+1= (x2+1)* (x + 1) + (x) : Reste =x, Quotient = x+1 – Arithmétique polynomiale modulo 2 (sans retenue): soustraction et addition sont équivalentes à un ou-exclusif bit à bit – On se donne un polynôme générateur G de degré n qui détermine le nombre de bits de contrôle n T: Données 000...0 Reste – T= Quotient*G

16) ( ) 2 2 2 2 13 6 x x f x x x − + + = − − . 17) ( ) ( )2 2 3 2 2 6f x x x= + − − 18) 2 4 1 ( ) 2 3 x x f x x x − − − = + − 19) ( ) 2 1 3 5f x x x= − + − . Solutions 1) 2( ) 3 1f x x x= − + f Est une fonction polynôme donc Un réel a toujours une image. Donc fD = 2) 3 ( ) 2 4 x f x x = − . Pour les fonctions du type fractions rationnelles, l’ensemble de définition est l’ensemble des nombres pour lesquels le dénominateur est non nul.  / 2 4

polynômiaux).. Au message X, on associe le polynôme : X(z) = x0 + x1 z + x2z2 + .....+ xm-1 zm-1 De tels polynômes peuvent être ajoutés (modulo 2) et multipliés suivant les règles booléennes. Un code polynomial est un code linéaire systématique tel que chaque mot du code est représenté par des polynômes Y(z) multiples d'un polynôme H(z) appelé polynôme générateur : Y(z) = Q(z).H(z) Examinons comment on passe de l'information utile (m bits) représentée par un polynôme X(z) à l'information codée (n bits)

théorique Le coefficient de corrélation est de -0.72844463, les équations sont : Y’ = -0.8968X+ 15.745 (en jaune) et X’ = -0.5917Y + 12.497 (en magenta) La somme des carrés des écarts entre les valeurs observées et celles théoriques est ici minimale pour les deux droites de régression, ce qui correspond à l’ajustement par les moindres carrés. Notons que ces écarts sont appelés résidus et qu’ils sont perpendiculaires (c’est-à-dire indépendants d’un point de vue mathématique) à l’axe de la variable

proposée. 3. Décomposition d’un polynôme en facteurs 3.1. Rappel sur fonction rationnelle entière 3.1.1. Définition On appel polynôme ou fonction rationnelle entière de x, la fonction où n est un nombre entier v ; le nombre n est le degré du polynôme. 3.1.2. Racine d’un polynôme La variable indépendante x peut également prendre soit des valeurs réelles, soit des valeurs complexes. On appelle racine d’un polynôme, la valeur de la variable x pour laquelle le polynôme s’annule. Chapitre II : Espaces

compétences lui permettant de traiter des situations relatives : - aux Calculs algébriques (Calcul numérique, Calcul littéral, Equations et inéquations, Systèmes linéaires) , - aux Fonctions numériques (Généralités sur les fonctions, Etude de fonctions polynômes et de fonctions rationnelles, Fonction logarithme népérien, Fonction exponentielle népérienne, Primitives et Calcul intégral, Suites numériques) , - à la Modélisation d’un phénomène aléatoire (Dénombrement, Probabilités) , - à l’organisation

Recueil d’exercices Q–2 6. À l’aide d’un développement de Taylor autour de x0 = 0, on a approché la fonction f (x) par le polynôme p(x). Sachant que : • f (0, 1) = 3,156 • p(0, 1) = 3,156 016 et f (0,3) = 3,267; et p(0,3) = 3,165, estimer l’ordre de précision du développement de Taylor utilisé et en déduire la valeur maximale possible pour le degré du polynôme p(x). [Indice] [Solution] [TdM ] 7. On utilise souvent l’approximation : sin x x. D’où vient cette approximation et quel est son

dit qu’une fonction est dérivable sur un intervalle Ι si elle est dérivable en chaque point de Ι. Par définition, la fonction dérivée f’ est la fonction qui à tout réel x de l’intervalle I associe f’(x), nombre dérivé de f en x. • Les fonctions polynômes et les fonctions exponentielles sont dérivables sur R. • La fonction logarithme népérien, la fonction racine carrée et les fonctions x ↦ xα (avec α > 0) sont dérivables sur ]0 ; +∞[. A retenir sur le fascicule de TD • Les dérivées des fonctions