Polynôme

Second degré : Résumé de cours et méthodes 1 Définitions : DÉFINITION On appelle trinôme du second degré toute fonction f définie sur R par f (x) = ax2 + bx + c (a,b et c réels avec a = 0). Remarque : Par abus de langage, l’expression ax2 + bx + c est aussi appelée trinôme du second degré. DÉFINITION On appelle racine du trinôme f , tout réel qui annule f . Exemple : 1 est une racine du trinôme 2x2 + 3x − 5, car 2(1)2 + 3(1) − 5 = 0. Remarque : Chercher les racines du trinôme ax2 + bx + c,

. On peut utiliser la forme développée : ? 0 = 0,52 m. Roger a frappé la balle à ?? cm de hauteur. 4. Il s’agit de trouver le maximum de la fonction ?. On utilise la forme canonique. 0,016 ? − 8 2 + 1,544 est la forme canonique de la fonction polynôme ? avec ? = −0,016 ; ? = 8 et ? = 1,544. La fonction ? admet donc un maximum en ? = 8 qui vaut 1,544. La hauteur maximale de la balle est 1,544 mètre, atteinte à une distance (à l’horizontale) de 8 mètres de Roger. 5. a. Il s’agit de résoudre

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 5 Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 1 Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 2 Arithmétique des polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76 3 Racine d’un polynôme, factorisation . . . . . . . . . . . . . . .

signe de f (x) sur ℝ ------------------------------------------------------------------------------------------------------Exercice n°1 (Corrigé) 1°) Calcul de la dérivée de f ainsi que les limites aux bornes de Df. La fonction f est une fonction polynôme, donc elle est définie, continue et dérivable sur ℝ . Et pour tout x ∈ℝ : f ' (x)=3 x 2+2 x−5 . a) Pour connaître le sens de variation de f , on étudie le signe de f ' ( x) . On résout d'abord l'équation f ' (x)=0 c'est-à-dire 3 x 2+2 x−5=0 avec

+c Donc c= -3900 Donc on peut dire que B(x)= x carré + 160 x -3900 2. f (79)=(12640-6241)-3900= 2499 f (81)=(12960-6561)-3900= 2499 Pour 79 et 81% d’occupation, le bénéfice est le même. 3. Comme on a une fonction polynôme du second degré, elle croit (avec a négatif) ou décroit (avec a positif) jusqu’au sommet puis elle décroit (avec a négatif) ou croit (avec a positif). Elle ne redescend ou remonte plus après. Donc l’occupation avec le bénéfice maximal sera la moyenne

 x 2 + 4 x - 5. On a vu en seconde que la représentation d’une fonction polynôme de degré 2 est une courbe appelée parabole. Cette parabole peut être orientée vers le haut (si a > 0) ou vers le bas (si a < 0). Parabole orientée vers le haut Parabole orientée vers le bas 3/ Inéquations du second degré On dit que - 1 et 3 sont les solutions de l’équation x 2 - 2 x - 3 = 0. On dit que - 1 et 3 sont les racines du polynôme x 2 - 2 x - 3. Exemple: résoudre x 2 - x - 6 0 On commence par chercher les

Déduire à partir des variations de la fonction « carré » les variations d’une fonction polynôme de degré 2. Les variations de la fonction carré (décroissante sur ]- ; 0], croissante sur [0 ; + [) étant connues et écrites dans le cours, on a le droit de les utiliser dans un exercice sans le redémontrer. Elles permettent de justifier qu’une fonction qui « ressemble » à la fonction carré (comme , ; ou un intervalle. a) b) c) d) Montrer que la fonction f est croissante sur [0 ; + [. Montrer que la

2 ou x > 1,5, f(x) = - 2 x² - x + 6 < 0 Pour – 2 < x < 1,5, f(x) = x² - 4 x + 3 > 0 Ceci peut se résumer par le tableau suivant : a = - 2 < 0 Résolution d’une inéquation du second degré : D’après les deux études précédentes, le signe du polynôme a x² + b x + c dépend du coefficient a de la façon suivante : a. Cas où  > 0 : b. Cas où  = 0 : Dans ce cas, le trinôme a x² + b x + c admet une seule racine telle que: x1 = x2 = x0 = et se factorise comme suit : a x² + b x + c

Excel activité 1 – Résolution d’un équation du second degré. Consignes. * Objectifs : Composer une feuille de calcule qui permette de calculer les solutions d’une équation du second degré du type ax² + bx + c = 0. 1. Résoudre l’équation en tenant compte de la valeur du déterminant : ∆ = b²-4*a*c Si ∆0, il faut afficher deux racines calculées à l’aide de la formule : x₁ et x₂ =-b±b2-4ac2a Si ∆=0, il faut afficher la racine double calculée à l’aide de la formule : x=-b2a 2. Etablir

Première S1 Année 2014-2015 Devoir sur table n◦ 1 : Corrigé Durée : 2 heures Les calculatrices ne sont pas autorisées Question de cours 1. Déterminer la (ou les) fonctions trinômes du second degré f vérifiant les conditions suivantes : ses racines sont − 1 et 2 et on a f (1) = 4. On sait qu’un tel trinôme s’écrit sous forme factorisée f (x = a(x + 1)(x − 2). De f (1) = 4, il résulte que f (1) = a × (−1) donc −2a = 4 soit a = −2. En développant l’expression ainsi obtenue, il résulte : f (x) = −2x2