Polynôme

suppose que tous les ai sont des 1. Montrer que si p a une racine rationnelle αβ (avec α et β premiers entre eux) alors α divise a0 et β divise an . √ √ 2. On considère le nombre 2 + 3. En calculant son carré, montrer que ce carré est racine d’un polynôme de degré 2. En déduire, à l’aide du résultat précédent qu’il n’est pas rationnel. Indications 7. 1. Calculer β n p( αβ ) et utiliser le lemme de Gauss. 2. Utiliser la première question avec p(x) = (x2 − 5)2 − 24. Correction 7. 1. Soit α β ∈

nulles, on obtient donc après identification : 4x3 2x2 − 5x + 3 = 0 + 6x2 − 4x − 21 = 0. Il est facile de résoudre la première équation et de vérifier si on obtient une racine de l’autre équation. On trouve que 3/2 est racine. On factorise alors le polynôme par z − 3/2, et on trouve (par exemple en procédant par identification) : 4iz 3 + 2(1 + 3i)z 2 − (5 + 4i)z + 3(1 − 7i) = (z − 3/2) 4iz 2 + 2(1 + 6i)z + 2(−1 + 7i) . Reste à résoudre ensuite l’équation : 4iz 2 + 2(1 + 6i)z + 2(−1 + 7i) = 0 3 dont

Équations I. Équation du premier degré Définition Une égalité est une affirmation qui utilise le signe = et qui ne peut être que vraie ou fausse. Une équation est une égalité où figure un nombre inconnu, le plus souvent noté x Résoudre une équation, c’est trouver toutes les valeurs possibles de l’inconnue pour que l’égalité soit vraie: ces valeurs sont les solutions de l’équation. Une équation est dite du premier degré si l'exposant de x est 1 Propriétés On transforme une équation en une équation

Fiche de révision : Équations 1. Quelques rappels Une équation est un problème qu’il faut résoudre. Pour cela, le but est de déterminer les valeurs que peuvent prendre les inconnues afin de satisfaire les conditions qui ont été posées par le problème. On note couramment la donnée inconnue par . La méthode consiste à isoler d’un côté de l’équation les termes contenant l’inconnue. Pour cela, on effectue de chaque côté de l’équation des opérations simples. Ensuite, on calcule tout ce qui est

Polynˆmes et nombres complexes o Table des mati`res e 1 Polynˆmes o 1.1 Division euclidienne . . . . . . . . . . . 1.2 Fonction polynˆme . . . . . . . . . . . o 1.3 D´composition en facteurs irr´ductibles e e 1.4 Polynˆme d´riv´e . . . . . . . . . . . . o e e 1.5 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 2 3 4 6 7 2 Nombres complexes 2.1 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 20 3 Suites 3.1 Exercices

Exercices de math´matiques e HX3 2011-2012 J’ai rassembl´ les plus beaux exercices de TD de cette ann´e suivant certaines r`gles : Je ne garde que ceux qui e e e poss`dent une solution “ originale ” qui n’a pas ´t´ propos´ dans la correction des TD. On trouvera aussi quelques e ee e exercices de d´but d’ann´e qui n’ont jamais ´t´ corrig´s, sauf quelques uns au tableau. e e ee e Le tout est regroup´ par th`mes : Alg`bre g´n´rale (et d´but d’ann´e), Analyse, et Alg`bre lin´aire. Les solutions e e

Mr HAMADA  ‐ Prof Principal     Chapitre 2                                         Problèmes du 1er degré et                                                              Problèmes du 2ème  degré   I –Problèmes du 1er  degré ‐ Equations du 1er  degré – Inéquations du 1er  degré    1   On procède de la manière suivante pour la résolution d’un problème   1 – On détermine l’inconnue  2 – On ramène le problème à la résolution d’une équation (inéquation) du 1er  degré à une inconnue    3 – On résout 

Ce qu'il faut savoir : résoudre des équations simples du premier degré (exemple : x-2=0)et des équations-produits. rappel : Les identités remarquables Elles sont utiles quand l'équation est sous une forme particulière.(exemple pour x²-1=0 : on reconnaît une différence de carrés et le second membre est nul) Il en existe 3 qu'il faut apprendre par coeur. a² + 2ab + b² = (a+b)² a² - 2ab+b² = (a-b)² a² - b² = (a+b)(a-b) Attention  (a+b)² n'est pas égal en général à a²+b² !!!! Exemple : pour x² -

CONCOURS INGENIEURS DES TRAVAUX STATISTIQUES ITS Voie B Option Mathematiques Corrige de la 1 ere Composition de Mathematiques Partie I : Les polyn^omes de Legendre 1. (a) (t 2 1) n est un polyn^ome de degre 2n de coecient dominant 1 et Ln est sa derivee n ieme donc, Ln est un polyn^ome de degre n de coecient dominant 2n(2n 1)


(2n n + 1) = (2n)! n! . (b) L0(t) = (t 2 1) 0
(0) = 1 L1(t) = (t 2 1) 1
(1) = (t 2 1) 0 = 2t L2(t) = (t

ÉQUATIONS ET INÉQUATIONS DU SECOND DEGRÉ I. Résoudre une équation du second degré: x2 − x − 6 = 0 ax 2 + bx + c = 0 ∆ = b 2 − 4ac • Exemple : résoudre l'équation • Méthode algébrique : L'équation est de la forme On calcule le discriminant : - ∆ < 0 ⇒ pas de solution - ∆ = 0 ⇒ une solution double - ∆ > 0 ⇒ deux solutions • Solution algébrique : b 2a −b − ∆ −b + ∆ x′ = et x′′ = 2a 2a x′ = x′′ = − ∆ = ( −1) − 4 × ( −6) = 1 + 24 = 25 donc ∆ > 0 Deux solutions : −( −1) − 25 1 − 5 x′ = = =