Polynôme

Polynômes et Fractions rationnelles 1. Généralités Définition Soit (A,+,×) un anneau commutatif unifère. On appelle suite presque nulle sur A une suite d’éléments de A dont les termes sont tous égaux à 0A à partir d’un certain rang. Remarque On pose S (A) = {suites de A} et S 0 (A) = {suites presque nulles de A}.  Rappel : addition usuelle des suites et la multiplication usuelle des suites par un scalaire. Soient a,b∈S (A) (ou S 0 (A)) et λ∈A. a = (a0, a1, a2,......., ak,........) = (an)n∈

  §1 DIVISION D’UN POLYNÔME PAR UN POLYNÔME Soit p( x) et d ( x) deux polynômes (d ( x) ≠ 0). Diviser p( x) par d ( x), c’est trouver deux polynômes q( x) et r ( x) vérifiant : (1) (2) p( x) = d ( x) ⋅ q( x) + r ( x) degré de r ( x) < degré de d ( x) Le polynôme p( x) est appelé le dividende, le polynôme d ( x) est appelé le diviseur. Le polynôme q( x) est appelé le quotient de la division de p( x) par d ( x) et le polynôme r ( x) est appelé le reste de la division

I. Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur ℝ par une expression de la forme : où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec . Remarque : Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme". Exemples et contre-exemples : - , - , - - sont des fonctions polynômes de degré 2. - est une fonction polynôme de degré 1 (fonction

3. Déterminer le polynôme p(x), sous deux formes, tel que: p(−1) = 8, p(0) = 3, p(1) = 6. Exercice 2 On considère les points A0(−2, 3);A1(−1, 1);A2(1, 5);A3(2, 11) et on désigne par Pn le polynôme d’interpolation de Lagrange passant par les points A0, ..., An, (n ∈ {1, 2, 3}). 1. Calculer P1(x) et P2(x). 2. Sans calculer P3(x), montrer que P3(x) = P2(x). Exercice 3 1. (a) Calculer le polynôme d’interpolation, P , aux points: (-1,2), (0,1), (1,2) et (2,3). (b) Soit Q le polynôme d’interpolation aux

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Construction de C . . . . . . . . . . 4.1.2 Écriture algégrique et conjugué . . . 4.1.3 Écriture polaire, module et argument 4.2 Propriétés des nombres complexes . . . . . . 4.2.1 Racines de polynômes . . . . . . . . 4.2.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Transformations géométriques . . . . 5 Groupes 5.1 Loi de composition . . . . . . . . . . . 5.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Généralités . . . . . . . .

Second degré Christophe ROSSIGNOL∗ Année scolaire 2008/2009 Table des matières 1 Polynômes du second degré 2 1.1 Définition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Forme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.3 Sens de variation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 2 Équations du

1) I. Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur [pic]par une expression de la forme : [pic] où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec [pic]. Remarque : Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme". Exemples et contre-exemples : - [pic], - [pic], - [pic] - [pic] sont des fonctions polynômes de degré 2. - [pic]

formule obtenue par la dérivée : nous avions au départ un polynôme de degré 1 en Nous avons obtenu par l'application de la formule de Taylor à l'ordre 2, un polynôme de degré 2 en Nous pouvons maintenant donner la définition générale d'un développement limité. 2.2) Développement limité Soit un nombre réel, et une fonction définie dans un voisinage de On dit que admet un développement limité d’ordre en pour signifier qu’il existe un polynôme de degré et une fonction de limite nulle quand tend vers

Définitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.1.1 Construction de C . . . . . . . . . . 4.1.2 Écriture algégrique et conjugué . . . 4.1.3 Écriture polaire, module et argument 4.2 Propriétés des nombres complexes . . . . . . 4.2.1 Racines de polynômes . . . . . . . . 4.2.2 Trigonométrie . . . . . . . . . . . . . 4.2.3 Transformations géométriques . . . . 5 Groupes 5.1 Loi de composition . . . . . . . . . . . 5.2 Groupes . . . . . . . . . . . . . . . . . 5.2.1 Généralités . . . . . . . . . . .

Structures algébriques     Lois de composition interne Groupes Anneaux Corps Chapitre 3 : Arithmétique dans Z     Division euclidienne dans Z PGCD Nombres premiers Congruences Chapitre 4 : Polynômes & Fractions rationnelles  Définition formelle des polynômes  Divisibilité, pgcd, Irréductibilité, racines…  Fractions rationnelles, Décomposition en éléments simples N.B : le contenu de ce polycopié sera enrichi, développé par d’autres exemples, d’autres résultats,…, donc