Processus stochastique

Notion du processus stochastique et fonctions aléatoires AKadrani Institut National de Statistiques et Economie Appliquée (INSEA) Rabat, Avril 2013 Chapitre 1 Processus stochastique et fonctions aléatoires Introduction Un système naturel physique évoluant dans le temps et assujeti au hasard peut être représenté par une fonction X (t, w ) où t ∈ T (T est souvent le temps) et w ∈ Ω où (Ω, F, P) est un espace probabilisé. Deux façons pour représenter ce système: 1 Une famille (Xt

PLAN DU COURS • PARTIE 1 : LES ACTIFS DERIVES • PARTIE 2 : MODELES STOCHASTIQUES DISCRETS • PARTIE 3: CALCUL STOCHASTIQUE • PARTIE 4: MODELES STOCHASTIQUES EN TEMPS CONTINU INSEA Devolder 3 PARTIE 1: Les actifs dérivés • • • • 1.1 Introduction 1.2 Les options classiques 1.3 Les options exotiques 1.4 Un premier exemple de pricing par arbitrage INSEA Devolder 4 2 PARTIE 2 : Modèles stochastiques discrets • 2.1 Modèle discret général • 2.2 Modèle binomial de COX-ROSSRUBINSTEIN

. 2.3 Limite du modèle KMV . . . . . . . . . . . . . . 3 Modèle à intensité 3.1 Modèle à intensité constante . . . 3.2 Estimation de λ par les donées du 3.3 Autres type d’intensité . . . . . . 3.3.1 Intensité déterministe . . . 3.3.2 Intensité stochastique . . . 3 3 3 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . marché . . . . .

exponentiel ………………………………. 2.2.6 Processus stochastique …………………………………………………………….. 2.2.6.1 Processus stationnaire ……………………………………………………... 2.2.6.2 Bruit blanc …………………………………………………………………. 2.2.6.3 Fonction d’auto-corrélation et d’auto-corrélation partielle …………........... 2.2.6.4 Opérateur de retard et différenciation ……………………….………... 2.2.7 Modèles pour processus stochastiques ……………………………………………..

UNIVERSITE MOHAMMED V ECOLE MOHAMMADIA D’INGENIEURS DEPARTEMENT DU GENIE INDUSTRIEL PROCESSUS STOCHASTIQUES ET FILES D’ATTENTE Par Pr. B. BENCHEKROUN DEUXIEME ANNEE ANNEE UNIVERSITAIRE 2003/04 1 RAPPELS MATHEMATIQUES ......................................................................................................................... 3 I. FONCTION GENERATRICE, TRANSFORMEE DE LAPLACE, TRANSFORME EN Z ................. 3 I.1. I.2. I.3. VARIABLE ALEATOIRE CONTINUE

. . . II Les processus aléatoires stationnaires 1. Equations différentielles et génération de processus autorégressifs déterministes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2. Stabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3. Un exemple . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4. Opérateurs de différenciation et retard . . . . . . . . . . . . . . 5. D’une équation différentielle avec second membre à l’équation stochastique AR(∞) . . . . .

de son état à la période k−1. Un tel système s'appelle une chaîne de Markov ou un processus de Markov. Dans la suite du texte, les mots soulignés sont définis dans un glossaire en annexe. 10 Définition 1 : Processus stochastique On s’intéresse à l’évolution d’un phénomène au cours du temps. Cette évolution est aléatoire, on va la représenter par une famille de variables aléatoires. 15 Un processus stochastique (ou aléatoire) est alors : {Xt ; t ∈ T} Où : – Xt est une variable aléatoire, indexée

variance de P&L final : ..................................................................... 9 3. Etude de la moyenne et de la variance du P&L final : ................................................................... 10 4. Modèle de volatilité stochastique : ............................................................................................... 14 Modèle 1 :....................................................................................................................................

Les chaines de Markov Modèles probabilistes et stochastiques de la gestion Master Actuariat et Gestion de Risque Université Hassan II, FSJES • L'objectif de ce cours est l'étude des principaux processus stochastiques utilisés en gestion. Plus particulièrement, les chaînes de Markov. • Les chaînes de Markov apparaissent régulièrement en finance (modélisation de l'évolution de titres en bourse), en économie et dans bien d'autres domaines liés à la gestion. • Nous pouvons facilement imaginer

Enseignants: N. Hamdi, A. Ben Slimane, S. Mhiri, I. Bousnina. ENSI 2013, II1 Processus de communication (1/3)  La communication envahit notre vie quotidienne:    Téléphone, radios, télévision Ordinateurs avec accès Internet Messages entre avions et tours de contrôle … Nécessité de décortiquer et d’étudier ce processus ENSI 2013 Transmission numérique, Introduction 2 Processus de communication (2/3)  Défnition : La communication implique implicitement