Processus stochastique

litres. On considère que le processus de remplissage suit une loi normale de moyenne 5 litres et d’écart type de 0,1 litres. 1. Quel est, au dixième près, le pourcentage de bidons contenant moins de 4,85 litres. 2. Quel est, au dixième près, le pourcentage de bidons contenant entre 4,95 et 5,05 litres. 3. On remplit un lot de 1000 bidons. Sachant que la capacité réelle des bidons est de 5,1 litres, combien de bidons risque-t-on de voir déborder pendant le processus de remplissage. Barème :

Un grand merci aussi au Professeur Paul Deheuvels pour m’ avoir mis en contact avec Romain-Franç ois Peltier à qui j’ exprime ma profonde gratitude pour avoir ré pondu à mes questions et pour m’ avoir permis de consulter sa thè sur les processus stochastiques fractals. se 3 PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com PDF created with FinePrint pdfFactory trial version http://www.fineprint.com TABLE DES MATIÈ RES Table des matières RESUME ___

Projet de Monte Carlo 1 Question1 : Soit Wt un mouvement brownien, alors : * Le processus Wt est gaussien * EWt=0 * EWtWs=min⁡(t,s) * Montrons que Wt est suit une N0,t En effet Wt est une variable aléatoire gaussienne et EWt=0 De plus on sait que EWtWs=min⁡(t,s) donc EWt2=t On en déduit que Wt suit une N0,t donc W0 suit une N0,0 donc W0=0 p.s * Montrons que E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+r-WtEWs pour r > 0 et pour tout s ≤ t Soit r > 0 et s ≤ t On a E(Wt+r-Wt)Ws=EWt+rWs-EWtWs=s-s=0

Méthode
de
WELCH
 1. Prélever
L
«
tranches
»
de
N
points
d’une
réalisation
ξ
d’un
processus
 aléatoire
x(k,
ξ).
Tranche
l
notée
xl(k,
ξ)
(l=0,
1,
…,
L‐1)
 2. Multiplier
(fenêtrer)
chacune
des
tranches
à
l’aide
d’une
fenêtre
à
 transitions
douces
(Hanning,
Hamming,
Kaiser,…)
notée
ω(k,N)
 3. Calculer
les
L
transformées
de
Fourier
F{xl(k,
ξ,N)ω(k,N)}
de
ces
L
 tranches
fenêtrées
de
N
points
 4. Evaluer
les
L
périodogrammes
fenêtrés
associés
 5. Calculer
la
moyenne
des
L
périodogrammes
fenêtrés
 
 Fonction
pwelch()
de
MATALB
:


O BTS cgo Exercice 1 A : « le bulbe présente le défaut a » B : « le bulbe présente le défaut b » 1. 2. Corrigé de l’épreuve de 2009 A – Evénements indépendants A et B indépendants p(A) = 0,015 p(B) = 0,02 E1 : « le bulbe présente le défaut a et le défaut b » P(E1) = P(A ∩ B) = P(A) x P(B) = 0,015 x 0,02 = 0,0003 (événements indépendants) E2 : « le bulbe présente au moins un des deux défauts » P(E2) = P(A B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) = 0,015 + 0,02 – 0,0003 = 0,0347 P(E1) = 0,0003 P(E2)

Mention Ingénierie Economique et Statistique et Mention Monnaie et Finance Année Universitaire 2009-2010 1 TD-1. Processus stationnaires 1. Calculer l’espérance, la variance, la covariance et l’autocorrélation des processus suivants. Conclure sur leur stationnarité et inversibilité. (a) xt = εt − εt−1 (c) xt = xt−1 + εt (d) xt = φ1 xt−1 + εt − θ1 εt−1 . 2. Soit un processus aléatoire εt distribué selon une loi normale N (0, 1). (a) Construire les séries AR(1) et AR(2) simulées définies par:

CHAPITRE 2. FONCTIONS ALÉATOIRES 2.1 Fonctions aléatoires continues 2.1.1 Définition Une fonction aléatoire scalaire X(t) est, pour toute valeur de t, une variable aléatoire1. On a donc que X(t1) et X(t2) constituent deux variables caractérisées chacune par une certaine densité de probabilité notée TX(ti)(xi) pour t = ti, qui peut être continue ou discrète. La fonction aléatoire continue X(t) est entièrement décrite par la connaissance des densités de probabilité jointes du type

Ex 2 (6 points) Un étudiant est soumis à un QCM qui comporte 100 questions. A chaque question l’étudiant répond au hasard. la probabilité qu’il réponde juste à la question est constante égale à 0,45. La réponse qu’il donne à une question ne dépend pas des réponses qu’il donne aux autres questions. On s’intéresse au nombre N de bonnes réponses qu’il obtient ainsi aux 100 questions. 1°) justifier que la loi de probabilité de N est la loi binomiale B(100 ; 0,45) 100 une m^exp a 2 issues Indep

Surbooking Il arrive assez souvent que le nombre de réservations pour une liaison aérienne soit supérieur au nombre de passagers se présentant effectivement le jour du vol. Etudions un exemple : pour compenser le manque à gagner, une compagnie aérienne exploitant un avion de 150 places décide de faire de la surréservation (surbooking) en prenant pour chaque vol un nombre n de réservations supérieur à 150. S’il se présente plus de 150 passagers à l’embarquement, les 150 premiers arrivés prennent

Exercice 1 : 1. On a P(D) = 0,03 PD(Ā) = 0,94 et PD̅(A) = 0,92 0,0603 A On pouvait faire l’arbre suivant  0,9703 0,94 0,9203 0,0803 0,0303 A A̅ A̅ D̅ D 2. A. determiner PD(A) = 1-PD(Ā) = 1- 0,94 = 0.06 b. P(AnD) = P(D) X PD(A) = 0,03 X 0,06 = 0,0018 P(AnD̅) = P(D̅) X PD̅(A) = 0,97 X 0,92 = 0,8924 3. On a P(A) = P(AnD) + P(AnD̅) = 0.8942 4. On cherche PA(D) = P(AnD)P(A) = 0,00180,09842 = 0,002 Loi binomiale : 1. On répète 10 fois une expérience