Quadrilatère

coupe la droite(AC) en E. d) Démontrer que le triangle BEC est isocèle. e) Tracer la droite (d1) parallèle à la droite (AB) passant par C puis la droite (d2) parallèle à la droite (AC) passant par B. Elles sont sécantes en F. f) Démontrer que le quadrilatère ACFB est un parallélogramme puis qu'il est un rectangle. Exercice 3 L’unité de longueur est le mètre. Antoine et David ont tendu une corde entre deux points A et D. Caroline et Betty en ont fait de même entre C et B. Les deux cordes

perpendiculaire à ce segment (AH) ⊥ (BC) (AH) hauteur Si une droite est une hauteur alors elle est perpendiculaire au côté opposé au sommet dont elle est issue. Si un quadrilatère est un rectangle (ou un carré) alors il a quatre angles droits (AB) ⊥ (BC) (AB) ⊥ (AD) (CD) ⊥ (AD) (CD) ⊥ (BC) Si un quadrilatère est un losange (ou un carré) alors ses diagonales sont perpendiculaires (AC) ⊥ (BD) Réciproque du théorème de Pythagore (AC) ⊥ (BC) A B Définition C

obtient la figure ci-contre, sur laquelle A, M, B ; B, N, C ; C, O, D et D, P, A sont alignés. a, b et c désignent les longueurs des côtés des triangles rectangles. Quelle est la nature du quadrilatère ABCD ? Justifie. PMN Démontre que l'angle  est un angle droit. Déduis-en la nature du quadrilatère MNOP. B b a a N c c P a c b a D b c b O C Exprime l'aire de MNOP en fonction de c. On dispose, à présent, les quatre triangles rectangles comme

ABME=Aire EAB (0,5 point) * Soit : 15+5x=37,5 (0,5 point) * x=37,5-155=4,5 (0,5 point) * Or si x=DM=4,5 cm , cela correspond au cas où les points M et K sont confondus. (0,5 point) * Lorsque les points M et K sont confondus, le quadrilatère ABME est en fait un triangle, puisque le point K appartient au segment [EB]. C’est le triangle EAB. Alors de façon évidente Aire ABME=Aire EAB et la réciproque est immédiate. (0,5 point)

rectangle isocèle en B 3. a) D est le symétrique de C par rapport à M donc M est le milieu de [CD]. x x D 1,5x D xM = C 0,75= 2 ⇒ 2 ⇒ 1,5=1,5 x D ⇒ x D =0 y C y D −1,5 y D 5=−1,5 y D y D=6,5 yM = 2,5= 2 2 b) Les diagonales du quadrilatère ACBD ont le même milieu donc ACBD est un parallélogramme. 4. a) E est l'image du point A par la translation de vecteur  donc BC = BC AE  x C −x B=1,5−2,5=−1 et  x E −x A= x E 1 BC AE y C − y B=−1,5−2=−3,5 y E− y A= y E −3 2.

fausses: Si un triangle est isocèle, alors il a 3 angles égaux Dans un losange les diagonales sont perpendiculaires Dans un losange les diagonales sont égales Si un losange a un angle droit, alors c'est un carré Si un quadrilatère a un angle droit, alors c'est un rectangle Si un quadrilatère a des diagonales de même milieu, alors c'est un rectangle 1. 2. 3. 4. 5. 6. F V F V F F Exercice 2 : somme algébrique / 2 points Calculer en détaillant les étapes: A= ( 3) ( 12) B 34 8) C 5 6 2 4 D (3 7)

dans un triangle si une droite passe par le milieu d'un coté tout en étant parallèle à un deuxième coté alors elle coupe le troisième coté en son milieu Donc I est le milieu de [EH] 3/ Dans le quadrilatère BECH et d'après ce qui précède on a I milieu de [EH] et I milieu de [BC] Or si un quadrilatère à ses diagonales qui se coupent en leur milieu alors c'est un parallélogramme Par conséquent BECH est un parallélogramme 4/ Dans le cercle de centre O circonscrit au triangle ABC on a E point

construit une terrasse rectangulaire qu'il désire recouvrir d'un toit. Pour cela, il réalise le croquis suivant où l'unité de longueur est le mètre. - Le sol ABCD et le toit EFGH sont des rectangles. - Le triangle HIE est rectangle en I. - Le quadrilatère IEAB est un rectangle. - La hauteur du sol au sommet du toit est HB. On donne AB = 2,25 ; AD = 7,5 ; HB = 5 Partie I On suppose dans cette partie que AE = 2. 1) Justifier que HI = 3. 2) Démontrer que HE = 3,75. 3) Calculer au degré près la

a) On note I et J les milieux respectifs des segments [PR] et [QS]. x +x y +y –4+2 –1+2 1 = – 1 et y1 = P R = = . xI = P R = 2 2 2 2 2 1 Le même type de calcul pour J amène xJ = – 1 et yJ = . 2 Donc I et J sont confondus. b) Les diagonales du quadrilatère PQRS ont le même milieu. C’est donc un parallélogramme. C O K B A x +x 0+7 7 = a) On sais que xJ = O B = 2 2 2 yO + yB 0 + (– 4) yJ = = = – 2. 2 2 7 Donc J ; – 2 . 2 x +x –3+5 =1 b) On sait que xK = A C = 2 2 yA + yC (– 4) + 2 yK = = – 1

Démontrer que : . 2°) En déduire que, pour tout point M du plan, on a : . 3°) De l’égalité précédente, déduire que l’on a : . Devoir sur feuille pour le 25/1/2013QCMPour chacune des questions suivantes, cocher la (ou les) réponses exactes.1. Le quadrilatère ABCD est un parallélogramme si, et seulement si : a) | b) | c) | 2. Si , alors : a) | b) | c) | 3. Dans un parallélogramme ABCD : a) | b) | c) | 4. Soient A, B et C trois points du plan. a) | b) | c) | 5. Une égalité