Quantificateur

. . . . . . . . . . . . . . . . . . page 6 Les quantificateurs « ∀ » et « ∃ » . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 6 4.1 Définition des quantificateurs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . page 6 4.2 Propriétés des quantificateurs avec une variable . . . . . . . . . . . . . . .

• Dans l’ensemble des naturels, la réciproque de l’assertion (vraie) « Si n est divisible par 6, alors n est divisible par 2. » est l’assertion (fausse) « Si n est divisible par 2, alors n est divisible par 6. » 5. Assertions quantifiées a) Quantificateurs Considérons la condition x2 > 0 dont la variable x admet IR pour référentiel. Celle-ci ne donne une assertion vraie que si on remplace x par un réel non nul. Dès lors, nous pouvons affirmer que l’énoncé « Le carré de tout réel est strictement positif

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1 0 1 0 0 1 1 1 ← 5.Application (n°6 p162) II – Les prédicats (≈ énoncé) 1. Les quantificateurs a) Le quantificateur universel : ''quelque soit'' Ɐ Ɐ x є ℝ <=> pour tout x réels. Exemple : Ɐ x є ℝ, x² ≥ 0 valeur de vérité : vraie b) Le quantificateur existentiel : ''il existe'' Ǝ Ǝx <=> Il existe au moins une valeur de x. Exemple : Ɐ x є ℝ, Ǝx tel que x ≥ x² 2. Négation des quantificateur. Propriétés : ¬(Ɐ x , f(x) ) = Ǝx tel que ¬ f(x) ¬(Ǝ x , f(x) ) = Ɐ x tel que ¬ f(x)

Op´erations sur les assertions . . . . . . . . . . . . I.3 Tableaux de v´erit´e . . . . . . . . . . . . . . . . . I.4 Quelques synonymies classiques . . . . . . . . . . I.5 Conditions n´ecessaires et/ou suffisantes . . . . . . I.6 Pr´edicats et quantificateurs . . . . . . . . . . . . I.7 Quelques bons conseils . . . . . . . . . . . . . . . Le langage des ensembles . . . . . . . . . . . . . . . . . . II.1 Ensembles et ´el´ements . . . . . . . . . . . . . . . II.2 Op´erations sur les ensembles

La logique Exercice no 1 Exprimer à l’aide de quantificateurs les phrases suivantes puis donner leur négation. 1) (dans cette question, f désigne une fonction de R dans R) a) f est la fonction nulle. b) L’équation f(x) = 0 a une solution. c) L’équation f(x) = 0 a exactement une solution. d) Le dénominateur D de f s’annule au moins une fois sur R. e) f est l’identité de R (c’est-à-dire la fonction qui, à chaque réel, associe lui-même). f) Le graphe de f coupe la droite d’équation y = x.

⇒ R) 2. Quantificateurs 2.1. Deux quantificateurs Une proposition logique peut dépendre d’une variable appartenant à un ensemble donné. ⇒ x3 + 1 > 1 signifie « pour tout x ∈ * , on a x 3 + 1 > 1 ». + On introduit le quantificateur ∀ qui signifie « pour tout » ou « quel que soit ». * 3 L’exemple précédent devient : ∀ x ∈ + ⇒ x + 1 > 1 * + Par exemple, x ∈ A l’inverse, une proposition peut être vraie que pour certains éléments d’un ensemble. On introduit le quantificateur ∃ qui signifie

Horizontal Vertical -Jaune Courbe. assouplissement des formes Garder couleur même intensifier même valeur -Chromatisme binaire bleu-vert Même valeur=couleur densité égal. --Molinari Quantificateurs en 1978 Bande vertical élargie de valeur sombres rapprochées. -Quantificateur rouge numéro 3 Quantificateur bleu #21 Il ramène les obliques ***-Danse/soupir Spécifique: plus grand que celui de borduas, pas appuyer sur le mur=fait pensée a une sculpture pourquoi-&gt; c suit une forme,courbe

valeur V quelque soit la valeur de m. On modélise cela en utilisant des symboles particuliers appelés quantificateurs. Dans notre exemple, on écrit alors la formule : ( m)(pair(2*m)), qui est interprétée comme étant vraie dans N. On distingue deux quantificateurs : quantificateur universel, noté (lire pour tout, ou quelque soit) quantificateur existentiel, noté (lire il existe) Un quantificateur porte sur une variable et jamais sur une constante. Exemple. On peut écrire ( n)(pair(n)) si n est une