Racine d'un polynôme

1 2 Erwan Biland - Problèmes MPSI 1 Table des matières Techniques de calculs, nombres complexes 1 2 3 4 5 6 Sommes de puissances de n entiers . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Récurrence, résolution de systèmes, polynômes 7 8 9 10 12 13 Calcul de sommes et de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Suites numériques, fonctions trigonométriques Ceci n’est pas le triangle de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

continuité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . B - Dérivabilité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Intégration sur un segment . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Développements limités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Polynômes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Calcul matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaces vectoriels et applications linéaires . . . . . . . . . . . A - Espaces vectoriels . . . . . . . . . . . .

composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il a été amené à prendre. UTILISATION DES POLYNOMES DE TCHEBYCHEV EN ANALYSE Notations : On note E l’espace vectoriel des applications continues de [-1,1] dans ! . On désigne par E n l’espace vectoriel des fonctions polynomiales de [-1,1] dans ! de degré inférieur ou égal à n où n est un entier naturel. On pourra confondre les expressions : polynôme et fonction polynomiale. Si f est un élément de E, on pose f ∞ = sup f(x) . x ∈[−1 ,1 ] Les

ci-dessous permet de calculer l’aire A d’un triangle de cˆt´s a, b, et c. Utilisez 3 chiffres oe significatifs (choisissez troncature ou arrondi et indiquez votre choix) pour d´terminer la e surface d’un triangle de cˆt´s a = 8.97, b = 5, et c = 4. Quelle est l’erreur relative si la oe valeur exacte est A = 1.63? Expliquez vos resultats. A= √ s(s − a)(s − b)(s − c) avec s= a+b+c 2 1 Exercice 2 (25pts) x + ln x = 0. Equations non-lin´aires. S´parez les racines de l’´quation e e e (2) Ecrivez

d’une matrice n × n (à n lignes et n colonnes). a b  A=  a ' b'     La trace de A Tr (A) = a + b' Le déterminant de A Det (A) = ab'− ba ' Le polynôme caractéristique de A PA (λ) = λ2 − Tr (A)λ + Det (A) Le spectre de A S pe(A) = { λ i / P(λ i ) = 0 } : le spectre de A est l’ensemble des racines de son polynôme caractéristique PA (λ) . • Une racine de PA (λ) peut être un nombre complexe. Le théorème de CALEY-HAMILTON Si A est une matrice 2 × 2 alors A 2 − Tr (A)A + Det (A)I = O 2 a b  a b

s’ils sont constitués par les mêmes éléments 6 MATH Sciences Economiques L1 – Gaël ISOIRD E. Ensemble des parties d’un ensemble L’ensemble des parties d’un ensemble a pour éléments des sous-ensembles qu’on peut former avec les éléments de l’ensemble. Si A={e,c,o} l’ensemble des parties de A :P(A)={{e,c,o},{e,c},{e,o}{c,o},{e},{c},{o}, Ø} 1) On parle indifféremment de partie d’un ensemble ou de sous ensemble. 2) Tout ensemble est inclus dans lui-même 3) L’ensemble vide est inclus dans tout ensemble

ce sont les racines, les carrés et le nombre seul1, non rapporté à une racine ni à un carré. Parmi eux, la racine est toute chose, le carré est tout ce qui résulte de la racine multipliée par elle-même. Le nombre seul est tout ce qui est exprimé comme nombre sans rapport à une racine ni à un carré. (Kitāb al-jabr wa al-muqābala, in Une histoire de la science arabe, p. 223). Le titre de l’ouvrage d’al-Khwārizmi est tout à la fois une discipline et deux opérations. Il s’agit en fait d’un programme.

. Présentation de la série « Tous les exercices de mathématiques » © Dunod – La photocopie non autorisée est un délit L’évolution récente de l’enseignement des disciplines scientifiques dans les C.P.G.E s’est concrétisée par la définition d’un nouveau programme de première année en 2003 et de seconde année en 2004. Un des objectifs de cette évolution a été de combler le fossé grandissant entre la classe terminale et les classes préparatoires. La progression est explicitement imposée par

initiatives qu’il a été amené à prendre. ___________________________________________________________________________________ Les calculatrices sont autorisées Le sujet est composé d’un exercice et d’un problème indépendants. 1/5 Exercice : points à coordonnées entières sur une hyperbole On munit le plan d’un repère orthonormé. On considère la conique H d’équation cartésienne : x2 − 13y 2 = 1. 1. Tracer l’allure de l’hyperbole H. On précisera les tangentes aux points d’ordonnée nulle ainsi

s'adapte au calcul que l'on veut faire. Notons que l'on résout rarement un système linéaire en calculant Esnard Aurélien Algorithmique Numérique Systèmes linéaires Ax=b : méthodes directes Formules de Crammer Cette méthode nécessite le calcul d'un déterminant, dont la complexité est en n!. La compléxité de la formule de Cramer est en n 2 n!. Par conséquent, cette méthode n'est pas utilisable en informatique. Méthode du pivot de Gauss  ai ,k i > k , Ligne i −  a  k ,k n3 L'algorithme