Raison d'une suite

Convergence d’une suite réelle Définition Une suite (un )n∈N de réels est convergente si et seulement s’il existe un réel l vérifiant ∀ ε > 0 ∃ Nε ∈ N ∀ n Nε |un − l | ε Le réel l est alors unique et on le note l = lim un . n→+∞ Théorèmes sur les limites Toute suite convergente est bornée. Le produit d’une suite bornée par une suite qui converge vers 0 est convergente vers 0. Si (un )n∈N et (vn )n∈N sont deux suites réelles convergentes et α ∈ R • La suite (un + αvn )n∈N

une suite de nombres réels, on pose : n Sn = u0 + u 1 + . . . + u n = uk . k=0 La limite de Sn est appelée série de terme général un . (Sn )n est appelée suite des sommes partielles de la série. Notation Une série de terme général un est notée 1.2 un Convergence   ou  n≥0   un . Définition 1.2.1 Une série de terme général un est dite convergente si la suite des sommes partielles (Sn )n est convergente. Dans ce cas, la limite de la suite (Sn

premiers termes d’une suite définie par une fonction 2 Déterminer les premiers termes d’une suite définie par récurrence 3 Représenter graphiquement les termes d’une suite un+1 = f (un ) 4 Déterminer le sens de variation d’une suite 5 Montrer qu’une suite est arithmétique 6 Déterminer le terme général d’une suite arithmétique 7 Calculer la somme de termes consécutifs d’une suite arithmétique 8 Montrer qu’une suite est géométrique 9 Déterminer le terme général d’une suite géométrique

u. La partie A est donc un fermé relatif à E, c’est donc une partie fermée. Inversement, si u n’est pas continue alors l’application u n’est par bornée sur {x ∈ E/ x = 1}. Cela permet de construire une suite (xn ) ∈ E N vérifiant xn = 1 et u(xn ) > n. 1 En posant yn = u(xn ) xn , on obtient une suite (yn ) ∈ AN vérifiant yn → 0. Or 0 ∈ A. donc la partie A n’est pas fermée. / Exercice 4 : [énoncé] Soit A ∈ Rp . La matrice A possède un déterminant extrait non nul d’ordre p. Par continuité du déterminant

I. Comportement d’une suite numérique 1. Suites majorées, minorées, bornées Définitions :    Soit une suite définie sur . Dire que la suite est majorée signifie qu’il existe un réel Dire que la suite est minorée signifie qu’il existe un réel Dire que est bornée signifie qu’il existe deux réels et tel que pour tout entier naturel , tel que pour tout entier naturel , tels que pour tout entier naturel n, Méthodes pour démontrer qu’une suite est majorée, minorée

LIMITE D’UNE SUITE Etudier la limite d’une suite ( u n ) , c’est examiner le comportement des termes u n lorsque n prend des valeurs de plus en plus grandes vers + 1 ) LES DIFFERENTS CAS POSSIBLES Soit une suite ( u n ) . cas 1 | |De manière plus mathématique : | |Si «  u n est aussi grand que l’on veut dès que n est assez grand » , alors on dit que |

SUITES PLAN I : Corps des réels 1) Propriétés 2) Borne supérieure et inférieure a) Définition b) Droite achevée c) Partie entière 3) Intervalles 4) Suites II : Limite d'une suite 1) Préambule 2) Un exemple historique 3) Définitions 4) Opérations sur les limites 5) Inégalités et limites 6) Suites monotones 7) Suites adjacentes 8) Théorème de Bolzano–Weierstrass III : Suites particulières 1) Suites arithmétiques 2) Suites géométriques 3) Suites arithmético–géométriques 4) Suites récurrentes linéaires

définition de la limite d'une suite que nlim → +∞ Exercice 1 : ( sur 2) Soit u n=3+ Exercice 2 : ( sur 3) Déterminer la limite des suites suivantes : 2 n n −2 n +3 n+1 2 −3 w = ; u n=3 n3 – 4 n+2 ; v n = n 2 n 3 n +5 n 3 −1 Exercice 3 : (sur 2) Les suites u et v sont définies pour tout entier naturel n  2, par : n n u n= et v n = √n √ n+1 1°) Déterminer la limite de u n . 2°) Montrer que pour n  2, u n⩽v n 3°) En déduire la limite de v n . Exercice 4 : ( sur 3) 1°) On considère une suite u définie sur ℕ

Soit un une suite et L sa limite. On dit que un converge vers L si et seulement si pour tout intervalle ouvert I contenant L, il contient aussi tous les termes un à partir d’un certain rang. - Toute suite convergente est bornée. - Théorème des gendarmes : Soit 3 suites un, vn et wn vérifiant : un < vn < wn à partir d’un certain rang un et wn convergents vers L et ont la même limite Alors vn est convergente et à pour limite L. - Toute suite croissante et majorée converge. - Toute suite décroissante

est surjective : plusieurs éléments ont la même image Si f est injective : certains éléments n’ont pas d’image Proposition : si f est bijective alors ce sont des fonctions identités  : B→A et A→B  B → B  : A → B et B → A  A → A 3 Fonctions d’une variable 3.1 Nombres réels et topologie sur IR 3.1.1 Propriétés algébriques de IR Proposition : Les réels additionnés ou multipliés sont commutatifs 3.1.2 Bornes, ensembles majorés et minorés Définition : un ensemble de réels est minoré ssi