Raison d'une suite

en classe pour des raisons de progression du cours)… L'auteur fournit une cote d'amour (qui n'engage que lui ! ) des démonstrations de théorèmes à connaître ou à maîtriser. ♥ ♥♥ ROC peu vraisemblable : il suffit d'avoir compris le principe ROC vraisemblable : il faut bien maîtriser le principe et savoir retrouver la méthode ♥♥♥ ROC probable : démonstration à savoir faire les yeux fermés et les mains attachés dans le dos... Suites : ROC 1 : Unicité de la limite d'une suite ♥♥ Prérequis : définition

limite d'une suite ou d'une fonction, c'est déterminer si cette suite ou cette fonction s'approche d'une valeur particulière lorsque la variable prend des valeurs extrêmes. Dans cette définition très intuitive, deux notions restent à définir avec précision : la notion de « s'approcher » et celle de « valeur extrême ». Historiquement, les mathématiques se sont d'abord intéressées aux limites de suites : on cherchait à savoir si, pour les grandes valeurs de l'indice, les termes de la suite se rapprochaient

sous-ensemble de Q formé des nombres rationnels positifs ou nuls [resp. strictement positif]. Dire que M ∈ Q est la borne supérieure d’une partie non vide X de Q signifie que M est le plus petit des majorants de X, ce qui se traduit par : ∀x ∈ X, x ≤ M, ∀a ∈ Q tel que a < M, ∃x ∈ X | a < x ≤ M et on note M = sup (X) . Il n’est pas difficile de montrer l’unicité d’une telle borne supérieure quand elle existe. Exercice 1.1 Montrer que 0 est la borne supérieure du sous-ensemble X = Q. Solution 1.1 ♠♠♠

heure Les documents, calculatrices non autorisés. Questions de cours Soit E un espace topologique séparé. 1. Soit (xn) une suite convergente de E et soit e sa limite. Montrer que l'ensemble C = {e} U {xn, n E N} est compact. 2. On suppose que (xn) est de Cauchy. Montrer que la suite est conver- gente si et seulement si elle admet une sous-suite convergente. 3. Soient A et B deux sous-ensemble~ de E d'intersection trer que A U B est connexe c.Q\.1\1.W non vide. Mon- Exercice 1

en a/(t − 1), b/(t − 1)2   £   £ (c.t + d)/(1 + t2 )).¢ 4 pt. ¡La solution trouvée admet elle une limite nie en 1 ? ¢ 2 pt. ¡ Soit [♠(2)] u une suite réelle. On suppose qu'elle vérie : p K ∀ ε ∈ R+∗ , ∃ K ∈ N, ∀ (p, q) ∈ N2 , ⇒ |up − uq | ε. q K £   Montrez que cette suite est bornée. 2 pt. ¢ ¡ Justiez : il existe au moins une suite strictement croissance ϕ de N dans N telle que £   (uϕ(n) )n converge.¢ 1 pt. ¡ On note λ sa limite. Montrez que (un ) converge aussi vers λ   £   £ (en

SUITES : GENERALITE Une suite (Un) est majorée si il existe un reel M tel que : quelque soit n E N, Un < M Une suite (Un) est minorée si il existe un reel m tel que : quelque soit n E N, Un >m Une suite est borné , si elle est a la fois majorée et minorée La suite Un est croissante ( resp strictement croissante )lorsque pour tout entier n , on a : Un < Un+1 ( resp Un < Un+1) La suite Un est décroissante ( resp strictement décroissante ) lorsque pour tout entier n, on a Un > Un+1 (resp

Une suite (un )n∈N est dite de cauchy, si Pour tout nombre ε > 0, il existe un nombre Nε ∈ N tel que, si n alors, |un − up | ε 1.2 Proposition Soit (un )n∈N une suite convergente ; alors, elle est de Cauchy 1.2.1 D´monstration e Soit (un )n∈N une suite convergente ; on appelle l sa limite. Soit ε > 0 ε Alors, il existe Nε ∈ N tel que, si n Nε , alors |un − l| 2 Donc, si n Nε et si p Nε , alors, |up − un | |up − l| + |l − un | ε ε + =ε 2 2 D’o` (un )n∈N est bien une suite de Cauchy

: A1 A1 B2 A0 On en déduit que la suite (bn ) est décroissante. Graphiquement, les deux suites resterons chacune d’un côté de la droite graduée ( ? ?). 4. On a les propriétés suivantes : La suite (an ) est croissante ; La suite (bn ) est décroissante ; Pour tout entier naturel n, on a : an bn Pour que ces deux suites soient adjacentes, il suffit de montrer que : lim bn − vn = 0 n→+∞ 0 2 4 Or, d’après la question 2. , le terme de rang n de la suite (un ) admet l’écriture : 1 n un = 6·

réels) ou ℂ (corps des complexes). Une suite (u_n)_{n \in \N} à valeurs dans K est dite arithmético-géométrique s'il existe deux éléments a et b de K tels que la suite vérifie la relation de récurrence suivante : \forall n\in\N,~u_{n+1}=a u_n+b. Remarque. On peut toujours ramener l'étude d'une suite (un)n ≥ n0 à celle d'une suite (vp)p ∈ ℕ en posant vp = un0 + p1. La suite (un) vérifie une relation de la forme ci-dessus pour tout n ≥ n0 si et seulement si la suite (vp)p ∈ ℕ est arithmético-géométrique

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Limite d’une fonction composée 6 6 Théorèmes de comparaison 8 PAUL M ILAN 1 T ERMINALE S TABLE DES MATIÈRES 1 Limite finie ou infinie à l’infini 1.1 Limite finie à l’infini Définition 1 : Dire qu’une fonction f Cf a pour limite ℓ en +∞, signifie que