Récurrence transfinie

Complément sur les suites : Récurrence, suites récurrentes du type un +1 = f (un ) … Animations liées sur le site : Représentation graphique des termes d’une suite : cette applet java permet de représenter entre autre, les termes des suites récurrentes de la forme un +1 = f (un ) avec la fonction f de votre choix, ainsi que le terme initial voulu. Très pratique ! http://mathemitec.free.fr/animations/comprendre/suite-un/suite_ts.php Le cours complet illustré : vous retrouverez notamment les

SUITES NUMERIQUES I Raisonnement par récurrence Exemple introductif : (Un) défini pour tout n  IN par :  Un+1 = 2 Un + 1   U0 = 0  Formule Un en fonction de n ?  Calcul des premiers termes (1, 3, 7, 15, 31…) n  Conjecture : Pour tout n  IN, Un = 2 – 1  Démonstration ? n  Soit P la propriété définie pour n  IN par : Pn : Un = 2 – 1 Supposons cette propriété vrai pour un certain entier n . n n+1 On a alors Un+1 = 2 Un + 1 = 2(2 – 1) + 1 = 2 – 1 càd Pn + 1. P est héréditaire et comme

a donc démontré par récurrence que pour tout n ∈ N, un − 1 > 0. b. • Décroissance de la suite : soit un+1 −un = − 2 un − 2un + 1 3. Or un − 1 > 0 ⇐⇒ un > 1 La suite étant minorée par 1 et décroissante converge vers une 4ℓ − 1 limite ℓ 1 et par continuité de la fonction f , on a ℓ = équation dont la seule solution ℓ+2 est ℓ = 1. La suite (un ) converge vers 1. 1 1 a. On a v n+1 − v n = − . un+1 − 1 un − 1 3(un − 1) , donc Or on a vu ci-dessus (démonstration par récurrence) que un+1 − 1 = un

: [pic]. Démonstration par récurrence : • Initialisation : [pic] La propriété est donc vraie pour n = 1. • Hérédité : - Hypothèse de récurrence : Supposons qu'il existe un entier k tel que la propriété soit vraie : [pic]. - Démontrons que : La propriété est vraie au rang k+1 : [pic]. [pic] [pic] • Conclusion : La propriété est vraie pour n = 1 et héréditaire à partir de ce rang. D'après le principe de récurrence, elle est vraie pour tout entier

= 0 qui est vrai quel que soit t ∈ R. Ceci signifie que tout point de ∆ appartient à P 3 . Conclusion : P 1 ∩ P 2 ∩ P 3 = ∆ E XERCICE 2 Réservé aux candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité 1. Mise en évidence d’une relation de récurrence 2 3 2 a. On a p (E 1 ) = , p E 1 (E 2 ) = et p E 1 (E 2 ) = . 5 5 5 D’après la formule des probabilités totales appliquée à E 1 et à E 1 : 5 points p (E 2 ) = p (E 1 ∩ E 2 ) + p E 1 ∩ E 2 = p (E 1 ) × p E 1 (E 2 ) + p E 1 × p E 1 (E 2 ) =

définir une suite. 1. Définition explicite La suite \displaystyle{(u_{n})} est définie directement par son terme général : u_{n} = f(n) 2. Définition par récurrence Soient \displaystyle{f} une fonction définie sur \displaystyle{\mathbb{R}} et un réel \displaystyle{a}, une suite \displaystyle{(u_{n})} peut être définie par récurrence pour tout entier naturel \displaystyle{n} par : \begin{cases} u_{0} = a \cr\cr \forall n \in \mathbb{N} \text{ , } u_{n+1} = f(u_{n}) \end{cases} 3. Définition

avec l’une des méthodes du paragraphe précédent. III. Raisonnement par récurrence Soit P une propriété définie sur N. On écrit P(n) pour dire : La propriété P est vraie au rang n. Soit n0 ∈ N. On souhaite montrer que la propriété P est vraie pour tout n ≥ n0 . 4 Lycée CHATEAUBRIAND - BCPST 1B 1. Principe du raisonnement par récurrence Pour montrer ce que la propriété P est vraie pour tout n ≥ n0 par récurrence sur n, on procède en deux temps : 1. Initialisation : on montre P(n0 ). 2

indéterminée (de type l’infini sur l’infini) Exercice 2 Soit u la suite définie par un= 2n-n3n, n∈ℕ Montrer par récurrence que, pour tout entier naturel n , 2n-n est positif. En déduire un minorant de la suite u. On a : 20-0>0 Posons comme hypothèse de récurrence que, pour une valeur donnée de n on a : 2n-n>0. On a : 2n+1-(n+1)=2×2n-n-1=2n-1+2n-n Or, d’après l’hypothèse de récurrence, 2n-n>0. Donc 2n-1+2n-n>2n-1≥0 car (2n) est une suite géométrique croissante de premier terme 1. Donc

savoir en trouver la limite lorsque n devient très grand. Mais vous allez aussi savoir transformer les suites définies par récurrence en suites explicites. Ce sera l’objectif n°1 du chapitre : connaitre les techniques pour obtenir rapidement des résultats sur les suites définies par récurrence. Vous connaissez trois techniques pour y arriver : la preuve par récurrence, la convergence monotone et le passage par une suite intermédiaire usuelle. Vous les retrouvez au menu en vidéos et sous forme

racines entières puisque P ne s’annule pas en 0 déjà, ni en les diviseurs de 10 : ±1; ± 2; ± 5; ± 10 . EXO 02. REM : contentez vous d’utiliser les propriétés vues en cours pour répondre aux questions : le théorème de Bézout et le raisonnement par récurrence (bien mené en général) n’en font pas partie. Apprenez à manipulez les propriétés simples avant de faire appel à des résultats dont vous ne soupçonnez pas la « puissance »... C’est un peu comme si pour prouviez que x 2 = 4 ⇔ x ∈ {−2; 2} en dérivant