Récurrence transfinie

FORMULE D'INVERSION DE PASCAL         ¡ Soient (ai) 0 i n et (bi) 0 i n des familles d'éléments d'un anneau commutatif A tels que : p k =0 ¢ ¡ ap = Alors : p k C p bk ∀p ∈ 0, n k =0 Preuve par récurrence : On considère la propriété ℘(p) suivante définie pour p ∈ 0, n : j ¢ ¡ k =0 p • D'après la relation ap = k =0 k C p bk particularisée avec p = 0, on obtient : a0 = b0. D'où ℘(0). • Montrons que : ∀p ∈ 0, n − 1 , ℘(p) Soit p ∈ 0, n − 1 . Supposons donc

pas suivi l’enseignement de spécialité 1. a. u2 = 1 9 3 ×3− ×0 = ; 2 2 2 3 9 1 27 3 21 u3 = × − × 3 = − = ; 2 2 2 4 2 4 3 21 1 9 63 9 45 u4 = × − × = − = . 2 4 2 2 8 4 8 3 5 points Métropole éventé le 19 juin 2009 b. Démonstration par récurrence : 1 1 Initialisation : u1 = 3 = × u0 + 3 = × 0 + 3 est bien vraie ; 2 2 1 Hérédité : supposons qu’il existe p ∈ N tel que u p+1 = u p + 3. 2 1 1 Or u p+1 = u p + 3 ⇐⇒ u p+1 − 3 = u p ⇐⇒ u p = 2 u p+1 − 3 (∗) 2 2 1 3 1 1 1 9 3 up + 3 − up = up +

tout entier naturel n : On pose encore : et . On a alors et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : . En effet : c) Soit une suite numérique définie par une relation de récurrence d'ordre 2 : , et . On pose pour tout entier naturel n : On pose encore : . On a alors et pour tout entier naturel n, la relation matricielle de récurrence : . En effet, 2) Terme général d'une suite de matrices Propriété : Soit une suite de matrices colonnes de

i , j ) du plan 4°) Conjectures graphiques concernant le sens de variation et la limite de ( un ) ( un ) semble strictement croissante et semble converger vers 2 5°) Validation des conjectures a) n  1, un  1; 2 Démonstration par récurrence Soit Pn : 1  un  2 . Montrons que : a) P1 est vraie b) n  1,  Pn  Pn1   Pour a) : Initialisation (pour n  1 ) On a bien 1  u1  2 (Car u1  1 par hypothèse)  Pour b) : Hérédité Soit n  1 un entier naturel vérifiant 1  un  2 Montrons

premiers termes de chacune des suites () et () en laissant apparents les traits de construction. c) Que peut-on conjecturer concernant le sens de variations et la convergence des suites () et () ? 3. a) Démontrer à l’aide d’un raisonnement par récurrence que pour tout entier naturel n, . (On admettra que l’on peut démontrer de même que pour tout entier naturel n, ) b) Démontrer que pour tout entier naturel n, . En déduire que pour tout entier naturel n, et c) Démontrer que pour tout entier

une somme. En effet, si un = k=n k =0 !v k alors un+1 ! un = vn+1 il suffit alors d’étudier le signe de vn+1. 1.2.3. Technique par récurrence. Pour montrer que (un) est décroissante par exemple on vérifie que u0 ≤ u1 puis on suppose que un ≤ un+1 et l’on montre qu’alors un+1 ≤ un+2 . On conclue alors grâce au principe de récurrence. !u = 2 # 0 Exemple : Soit (un) définie par " . #un+1 = un $ Notons P(n) la propriété 0 < un+1 < un . On a u0 = 2 et u1 = 2 , donc 0 < u1 < u0. P(0)

géométriques, sens de variation, cf cours sur le livre page 24 et A p 100 II. Raisonnement par récurrence C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912). 1. Axiome : principe de récurrence Principe du raisonnement par récurrence : Pour prouver qu'une propriété P est vraie pour tout entier naturel n supérieur ou égal à un entier

L’algorithme no 3 calcule tous les termes de 0 à v n et les affiche tous. 2. D’après les tables de valeurs de la suite (qui correspond en fait à n = 9), il semblerait que la suite soit croissante et converge vers un nombre proche de 3. 3. a. Montrons par récurrence la propriété P n : 0 < v n < 3 pour tout entier naturel n. Initialisation : n = 0, on a bien 0 < v 0 < 3 vraie, puisque v 0 = 1 ; ainsi P 0 est vraie. Hérédité : Supposons P n vraie, montrons alors que P n+1 est vraie. On suppose donc que 0 <

1 , f ' (x ) ≥ 0 et f est croissante sur [0 ; 1]. . Par suite, pour b) On traduit la question posée. On est donc amené à démontrer que pour tout n, 0 ≤ un ≤ 1 et un +1 ≤ un . On peut démontrer par récurrence chacune de ces deux propriétés ou bien ne faire qu’un seul raisonnement par récurrence en montrant que pour tout n, 0 ≤ un +1 ≤ un ≤ 1 . Prenons ce deuxième point de vue. u + 1 1+ 1 1 On a u 0 = 1 et u1 = 0 = = donc on a 0 ≤ u1 ≤ u 0 ≤ 1 . u 0 + 3 1+ 3 2 Supposons que pour k ∈» on ait 0

SUITES (Partie 1) I. Raisonnement par récurrence C'est au mathématicien italien Giuseppe Peano (1858 ; 1932), ci-contre, que l'on attribue le principe du raisonnement par récurrence. Le nom a probablement été donné par Henri Poincaré (1854 ; 1912). Principe : On considère une file illimitée de dominos placés côte à côte. La règle veut que lorsqu'un domino tombe, alors il fait tomber le domino suivant et ceci à n'importe quel niveau de la file. Alors, si le premier domino tombe, on est assuré