Récurrence transfinie

Utiliser une suite auxiliaire • L’outil : – Propriétés des suites géométriques. • Les objectifs : – Savoir reconnaître une suite arithmétique ou géométrique. – Savoir conjecturer un résultat et le démontrer. – Savoir passer de la définition par récurrence à la définition explicite d’une suite. 1. u0 = 1, u1 = 2, u2 = 5. u1 – u0 ≠ u2 – u1 : la suite n’est pas arithmétique. u1 u2 ≠ : la suite n’est pas géométrique. u0 u1 1 3 9 27 81 ,v = ,v = ,v = ,v = . 2 1 2 2 2 3 2 4 2 b) On peut conjecturer que

a) parmi les n-1 éléments de E ; il y en a [pic]. On a donc bien [pic] ( triangle de Pascal) II) Binôme de Newton : [pic] Démonstration ( récurrence) : 1. Cette propriété est vraie pour n=1 de manière triviale 2. Soit n un entier positif quelconque. Supposons que [pic] 3. Montrons que [pic] [pic] ( hypothèse de récurrence) [pic] posons i+1=j ; si i varie de O à n-1, j varie de 1 à n . Dans la 2° partie de l’égalité, remplaçons i par j-1 : [pic] comme les variables sont

réels entre eux, la récurrence sur . Idée intuitive : créer une notation pour indiquer pour x un réel quelconque, et n un entier naturel non nul, qu'on a multiplié x, n fois par lui-même (on comprend bien que multiplier un nombre 0 fois par lui-même n’a pas de sens (1 fois pourrait être discutable, mais en disant « le produit de n facteurs égaux à x », la réserve n’as plus de raison d’être)). Définition mathématique (1) : on note le nombre défini par la relation de récurrence suivante : On

solution de l’équation différentielle : y ' + y = f0. b) Pour tout entier strictement positif n, on définit la fonction fn comme la solution de l’équation différentielle y ' + y = fn–1 vérifiant fn(0) = 0. xn –x En utilisant la Partie I, montrer par récurrence que, pour tout x réel et tout entier n ≥ 1 : fn(x) = e . n! 2. Pour tout entier naturel n, on pose: In = ⌠10 fn(x) dx. (on ne cherchera pas à calculer In) ⌡ a) Montrer, pour tout entier naturel n et pour tout x élément de l’intervalle [0 ; 1], l’encadrement

[pic], de [pic] en fonction de n (de façon plus ou moins complexe, avec éventuellement des sommes ou des conditions…) • Définition récurrente : - récurrence « simple » : [pic] est telle que : [pic] (Problème de définition éventuelle, dépend de f. On peut résoudre ce problème par récurrence) - récurrence « double » : [pic] • Définition implicite. Par exemple : « pour [pic], [pic] est la solution réelle positive de l’équation [pic] ».

diagonaux non nuls) d'une matrice triangulaire inversible n'est pas bien sue ou est confondue avec une matrice quelconque. Les étudiants les plus faibles élèvent chaque terme d'une matrice A à la puissance n pour donner An. Lors d'une démonstration par récurrence, les étudiants ne savent pas trop à quel ordre doit être faite l'initialisation. Il y a des confusions entre la propriété Hn et la matrice Bn, il n'est donc pas rare de voir la notation HnxH1 au lieu de BnxB1 pour montrer l'hérédité. Le calcul avec

librement et gratuitement. Vous ne pouvez pas télécharger les fichiers de mon site pour les installer sur le vôtre. ENTIERS, DENOMBREMENT ET ARITHMETIQUE PLAN I : Les entiers 1) Le principe de récurrence. 2) Propriétés de . 3) La division euclidienne II : Combinaisons 1) Définition 2) Formules de récurrence 3) Formule du binôme de Newton III : L'anneau 1) Diviseurs communs, PGCD 2) Egalité de Bézout 3) Le théorème de Gauss 4) PPCM 5) Les nombres premiers IV : L'anneau des polynômes [X] 1) Algorithme

Raisonnement par récurrence P(n) désigne une certaine propriété dépendant d’un entier n et n0 désigne un entier naturel donné. On veut démontrer que pour tout entier naturel n ≥ n0 , la propriété P(n) est vraie. Pour cela, on procède en deux étapes : Etape 1. On vérifie que P(n0 ) est vraie, Etape 2. On se donne un entier n ≥ n0 quelconque. On suppose que pour cet entier n la propriété P(n) est vraie (c’est l’hypothèse de récurrence) et on montre que sous cette hypothèse la propriété P(n + 1) est

fraction rationnelle: = − − + − 3 ) Dans cette question, on se propose d’utiliser les résultats ci-dessus pour déterminer la limite de la suite (Un) définie pour tout entier ≥ par : = a ) Montrer, par exemple en utilisant un raisonnement par récurrence que : = = = + b ) Justifier, pour tout entier = = ≥ l’égalité : = c ) En déduire que pour tout entier n supérieur ou égal à 2 : = + − − d ) A partir du résultat précédent, déterminer : →+∞ puis la limite de la suite

Raisonnement par récurrence Principe de récurrence Le principe de récurrence permet de montrer qu’une assertion P (n), dépendante de n, est vraie pour tout n ∈ N. La démonstration par récurrence se déroule en 3 étapes : Définition 68.15 Étape 1 - Initialisation : On prouve que P (0) est vraie. Étape 2 - Hérédité : On suppose n ≥ 0 donné avec P (n) vraie et on démontre que l’assertion P (n + 1) est vraie. Étape 3 - Conclusion : On rappelle que, par le principe de récurrence, P (n) est vraie