Série B

Algorithme de calcul d'une valeur approchée de ∏ par somme de 100 termes de la série ∏ 1 1 1 1 1 --- = --- - --- + --- - --- + --- - … 4 1 3 5 7 9 EX3 : Utiliser la notion d'invariant de boucle pour déduire l'algorithme pour calculer N!. EX4 : Soit la série harmonique 1 1 1 1 1 1 + --- + --- + --- + --- + … + --- + … 2 3 4 5 I Cette série diverge pour i assez grand. On souhaite calculer le nombre minimum N de termes de cette série pour dépasser une valeur arbitraire V donnée. 1 1 1 1 1 1 1 1 + --- + ---

Correction 1 1. On a les valeurs suivantes : a0 = 1 b0 = 7 1 1 9 a1 = 2·a0 + b0 = 2·1 + 7 = = 3 3 3 3 1 1 14 b1 = a0 + 2·b0 = 1 + 2·7 = 3 3 3 1 1 9 14 32 a2 = 2·a1 + b1 = 2· + = 3 3 3 3 9 1 1 9 14 37 b2 = a1 + 2·b1 = + 2· = 3 3 3 3 9 Voici la représentation de quelques points sur une droite graduée dont l’unité à pour mesure 2 cm : A1 A1 B2 A0 On en déduit que la suite (bn ) est décroissante. Graphiquement, les deux suites resterons chacune d’un côté de la droite graduée ( ? ?). 4. On a les propriétés

arithmétique de raison r non nulle est divergente. | |Si r > 0 , alors +)) u n = + | |Si r < 0 , alors +)) u n = – | B ) SUITES GEOMETRIQUES ( q n ) ( admis ) | | |Soit q un réel .

oui, déterminer le premier terme et la raison. Réponse : On calcule alors : Un+1Un=-4×5n+1-4×5n=5 ⇨Un est géométrique de raison q=5 et de premier terme U0=-4×50=-4 . Remarque : Si a,b,c,d,… sont des termes consécutifs d’une suite géométrique, on dit que qu’ils sont en progression géométrique. Exemple : a=12 ,b=14 , c=18 , d=116 sont en progression géométrique. II/ Terme général d’une suite géométrique 1/ Le terme général : Soit Un une suite géométrique de premier terme U0 et de raison q≠0

PROBLÈME 1 Etant donné une série convergente cuk (x), on note R, (x) = zuk (x) son reste d’ordre n, pour k20 k=n+l n E N et on se propose d’étudier la série c Z?,(x). n20 PARTIE 1.1. On suppose que uk (x) = (- l)k Xk, où x E R. 1 1.1.1. Déterminer l’ensemble Z des x E R tels que la série c (- l)kxk converge et pr6ciser sa k20 somme s (- l)knk pour x E Z. k=O 1.1.2. En supposant que x E Z, expliciter R,(X), montrer que la série xR,(x) n20 converge et calculer

Concernant les suites arithmétiques. Si on pose Un une suite arithmétique de raison r, cela veut dire que pour passer d'un terme à un autre on ajoute la raison : Un+1 = Un + r On peut ainsi définir ce qu'on appelle le terme général de la suite, c'est à dire qu'on peut déterminer n'importe quel terme de la suite en fonction de n : Un = Uo + n.r (avec Uo le premier terme) Il faut faire parfois attention, car on peut avoir U1 comme premier terme et non Uo, on écrira Un comme ceci : Un = U1 + (n-1)

, 5! et 6!. Démontrer que 6! × 7! = 10! (sans calculer 10! et sans utiliser de calculatrice) b. Simplifier 1 et 0! = 1 (n + 1)! . n! * c. Démontrer, par récurrence, que pour tout k ∈ , on a : k! 2k−1 d. Déterminer, à l'aide de la calculatrice, le plus petit entier n tel que : n! 107 2. Étude d'une suite. On considère la suite (un) définie par : un = a. Calculer u0, u1, u2 et u3. b. Démontrer que la suite (un) est strictement croissante. c. Le but de cette question est de prouver

Progression suite géométrique On appelle progression géométrique une suite de nombres tel que chacun est égal au précédent multiplié par un même nombre. Par exemple, qu' on multiplie 3 par 2, ce qui donne 6; puis 6 par par 2 ce qui donne 12; puis 12 par 2, ce qui donne 24 etc. La suite 3; 6; 12; 24... est une progression par quotient. Le nombre constant par lequel on multiplie chaque terme par avoir le suivant est la raison de la progression. Cette progression est dite progression par quotient

CCP MP I - ann´e 2000 e I CU dans C 0 ([0, 1], R) |fn (x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) → 0 quand n → +∞ et p quelconque par hypoth`se. Donc la suite e (fn (x)) est de Cauchy pour tout x, dans R complet, donc converge. la convergence simple ? 2) Une suite de Cauchy est born´e, donc on peut ´crire |fn(x) − fn+p (x)| ≤ N∞ (fn − fn+p ) ≤ M avec un e e majorant M ind´pendant de x, p, n. Faisons tendre p vers ∞ ci-dessus, cela donne par passage a la limite e ` d’in´galit´s larges |fn(x) − f(x)| ≤ M ;

) une suite géométrique de raison et de premier terme u1 = 20. 4 3 a) un = u1 × qn – 1 = 20 × ( )n – 1 4 3 10 – 1 3 b) u10 = 20 × ( ) = 20 × ( )9 ≈ 1,502 4 4 3 c) Soit (un) une suite définie pour tout entier n par : un = 3 × 5n + 1. a) un + 1 = 3 × 5n + 2 = 3 × 5n + 1 × 5 = un × 5 la suite est donc géométrique de raison q = 5 b) q = 5 > 1, la suite est donc croissante et sa limite est + ∞ car u0 > 0. c) En langage naturel, on a : ou Entrées : A un nombre entier Entrées : A un nombre entier Initialisation