Série de Fourier

une partie compacte de E ? 1/4 PROBLÈME : PHÉNOMÈNE DE GIBBS Partie préliminaire 1. (a) Justier que la fonction t → On pose I = 0 π sin t est intégrable sur l'intervalle ]0; π]. t sin t dt. t ∞ (b) Rappeler le développement en série entière en 0 de la fonction sinus et déterminer, avec soin, une suite (uk )k≥0 vériant I = k=0 (−1)k uk . πn n.n ! 2. (a) Démontrer que la suite +∞ πn n! converge et que la suite n≥0 est décroissante. n≥1 (b) Si Rn = (−1)k

abordées. Si, au cours de l’épreuve, un candidat repère ce qui lui semble être une erreur d’énoncé, il le signale sur sa copie et poursuit sa composition en expliquant les raisons des initiatives qu’il est amené à prendre. Étude de la somme d’une série de Fourier lacunaire quadratique La fonction q définie, pour tout x ∈ R, par q(x) = ∞ n=1 eiπn x iπn2 2 est étudie par Riemann il y a environ 150 ans, avec l’idée que cette fonction est continue sur R mais nulle part dérivable. L’étude est poursuivie

développement en série de Fourier De fonctions périodiques rencontrées en électricité. 1. On considère un entier naturel n strictement positif . Montrer que : [pic] et [pic]. 2. On considère la fonction[pic]définie sur [pic], périodique de période 2 , telle que : [pic] a. En utilisant le document réponse n°1 , à rendre avec la copie , tracer la courbe[pic]représentative de la fonction[pic]sur l’intervalle [pic]. b. On appelle[pic]la série de Fourier associée à la

 Exercice 1 (ultra-classique, tiré du livre “ Physique des ondes et des vibrations ” , André Lecerf, éditions Tec&Doc) Développer en séries de Fourier les fonctions périodiques ( de période T= ) suivantes : 1.1) Courbe en créneaux irréguliers Réponse : 1.2) Courbe en créneaux réguliers (cas précédent avec  = T /2) Réponse : 1.3) Sinusoïde redressée simple alternance. réponse : fonction paire, donc Bm= 0. et pour m > 1, il n'y a plus

fréquence, basse fréquence et intermédiaire). Filtres du 1er ordre A) Décomposition en série de Fourier Soit F de période T (pulsation [pic]). Alors, d’après le théorème de Fourier : [pic] On a : [pic] Notation compacte : [pic] ([pic]) Terme 0 : valeur moyenne Terme n : harmonique de rang n de la décomposition de Fourier. Exemple : le son d’un instrument de musique [pic] Si F

pas d’autre solution que la solution nulle. Question 3 Montrer que (5)-(6) possède une solution non nulle si et seulement si ∃ ∈ N∗ tel que = 2 . Pour fixé, déterminer la dimension de l’espace des solutions et en expliciter une base. 2 La série de Fourier de la condition initiale la fonction égale à sur [0, ] , impaire et prolongée par 2 -périodicité à R On note tout entier. Question 4 Tracer la courbe représentative de de variation. sur [−5 /2, 5 /2] et en préciser le tableau On

l’amplitude de son fondamental. En déduire que si on limite le développement en série de Fourier de cos( p t ) à sa valeur 2 2  1  cos(2 p t )   3  3) La tension à l’entrée du redresseur double alternance est maintenant le signal u2 (t ) . a) Montrer que le signal u3 (t ) à la sortie du redresseur peut se mettre sous la forme d’une somme de tensions sinusoïdales (On pourra utiliser le développement en série de Fourier de u2 (t ) limité à sa valeur moyenne et son fondamental). b) Représenter

2010 , math II parties 1 et 3 PARTIE 1 1. D contient tous le réels sauf les entiers strictement négatifs. Les fonctions un sont donc toutes dé…nies sur D pour n 1: 1 1 De plus on a l’ équivalent entre suites positives : , donc par comparaison à une série de Riemann (2>1) 2 (n + x) n2 8x 2 D , 2. 1. On véri…e par récurrence : 8x 2 D , u(p) (x) = n si p = 0 , 8x 2 D , u(0) (x) = n ( 1)p (p + 1)! : (n + x)2+p 1 est dé…nie (n + x)2 n=1 +1 X ( 1)0 (1)! est bon. (n + x)2+0 2 ( 1)1 (1 + 1)! si p = 1

Joseph Fourier I. Biographie  Jean-Baptiste Joseph Fourier est orphelin de ses parents à l’âge de 10 ans et il est recueilli dans un pensionnat d’Auxerre, le monastère de Saint-Benoît sur Loire. Il fait ses études à l’Ecole militaire d’Auxerre où il réalise des études prometteuses en Français et en Latin, mais son intérêt porte rapidement sur les mathématiques et préfère plus tard s’adonner aux sciences pour lesquelles il remportera la plupart des premiers prix.

question, le nombre réel α vaut π . 3 Dans un repère orthogonal, représenter graphiquement la fonction f sur l’intervalle [−2π ; 2π]. +∞ n=1 2. On appelle S la série de Fourier associée à la fonction f On note S(t ) = a0 + (an cos(nt ) + b n sin(nt )). Le but de cette question est de calculer les coefficients de la série de Fourier S π pour une valeur x quelconque du nombre réel α tel que 0 < α < . 2 a. Calculer a0 , valeur moyenne de la fonction f sur une période. b. Déterminer b n , n désignant