Série de Fourier

fonctions de carré moyennable et comparables. I.G - Soit N P = {x : x ( t ) = k=1 ∑ ck e iω k t N ∈ IN, c k ∈ C, ω k ∈ IR distincts } I l’ensemble des polynômes trigonométriques (élargi par rapport à celui utilisé dans les séries de Fourier : ici les fréquences sont quelconques). Montrer que P est stable par produit de fonctions, et que l’application ( x, y ) a définit un produit scalaire sur P . En particulier, pour x = I.H - Soit une suite x n ∈ I.H.1) I.H.2) k=1 ∑ ck eω N

Décomposition en série de Fourier Soit F de période T (pulsation   2 ). Alors, d’après le théorème de Fourier : T   n 0 n 0 (an ) nN , (bn ) nN * , t  R , F (t )   an cos(.n.t )   bn sin(.n.t ) On a : a0  F (t ) t t an  bn  2 F (t ' ) cos(.n.t ' )dt' T 0 2 F (t ' ) sin(.n.t ' )dt' T 0  t Notation compacte : F (t )   C n cos(.n.t   n ) ( a0  C0 cos 0 ) n 0 Terme 0 : valeur moyenne Terme n : harmonique de rang n de la décomposition de Fourier. Exemple

somme. Le signal somme obtenu est de la forme suivante : somme Tout signal périodique peut se décomposer par série de Fourier en une somme de signaux sinusoïdaux. Le courant délivré par E.D.F. le plus utilisé est alternatif sinusoïdal de fréquence 50Hz. La tension de sortie d’un micro ou d’un ampli a une forme beaucoup plus compliquée mais elle peut se décomposer par transformée de Fourier en une somme de sinusoïdes. -3- Lycée Brizeux ELECTROCINETIQUE Année 2009-2010 PCSI B Chapitre EC4 __

EPREUVE – 3 heures Les trois parties sont indépendantes mais obligatoires. Il est cependant souhaitable de les traiter dans l'ordre. ETUDE D'UN FOUR A INDUCTION ALIMENTE PAR UN ONDULEUR AUTONOME Un four à induction est équivalent à un circuit série composé d'une inductance pure L = 60 µH et d'une résistance R = 10 m. La fréquence de fonctionnement de la tension d'alimentation du four est fixée à f = 600 Hz. PREMIERE PARTIE : ALIMENTATION PAR SOURCE DE TENSION ALTERNATIVE SINUSOIDALE 1

121 125 125 127 132 137 138 139 140 A Séries de Fourier et filtres numériques 1. La transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.1. Distributions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.2. Transformée de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.3. Séries de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4. Espace L2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1.4.1. Transformée de Fourier de fonctions périodiques de L2 (T ) . . . . . . .

CHAPITRE 3 SERIES DE F OURIER 3.1 Séries trigonométriques Définition 3.1.1 On appelle série trigonométrique réelle, toute série de fonctions de la forme : a0 + 2 ∞ an cos(nωx) + bn sin(nωx) (1) n=1 avec x ∈ R, ω > 0 , an , bn ∈ R, pour tout n dans N. Le problème est de déterminer l’ensemble ∆ tel que la série (1) soit convergente pour tout x ∈ ∆. Remarque 3.1.1 Supposons que la série (1) converge et posons f (x) = a0 + 2 ∞ an cos(nωx) + bn sin(nωx). n=1 Sachant que pour tous n ∈ N et k

: q q q un signal quelconque x(t) est décomposable en une série de signaux sinusoïdaux si le signal est périodique, il peut s'exprimer sous forme d'une série de Fourier ; les termes de la série sont des signaux sinusoïdaux dont les fréquences varient comme multiples d'une fréquence de base f0 si le signal n'est pas périodique, il peut s'exprimer sous forme d'une intégrale de Fourier (extension continue de la série de Fourier) ; les signaux sinusoïdaux constituants ont des fréquences continûment

développements en série de Fourier fournissent la valeur de n2 n=1 1 . En voici n2 a) Soit f la fonction définie sur R à valeurs dans R, 2π-périodique telle que ∀x ∈ [−π, π], f(x) = |x|. 3 y = 2 1 f( x) −6 −5 −4 −3 −2 1 −1 1 2 3 4 5 6 f est 2π-périodique, continue sur R, de classe C par morceaux et donc, d’après le théorème de Dirichlet, en tout réel x, la série de Fourier de f converge vers f(x). b) Calcul des coefficients de Fourier de f. f est paire

fr/master_acoustique Traitement du signal – Formulaire donné pour l’examen Série de Fourier (SF) fP : signal analogique, périodique de période T0. On pose ω0 = 2π f 0 = 2π T0 . ∀t, fP (t ) = n = −∞ ∑ A n e jnω0t avec A n = ∞ 1 T0 T0 2 − T0 2 ∫ fP (t )e − jnω0t dt Transformée de Fourier (TF) fa(t) : signal analogique Fa (ω) = TF{fa } = ∫ fa (t )e − jωt dt fa (t ) = TF −1 {Fa } 1 Fa (ω)e jωt dω 2π ∫ Transformée de Fourier numérique (TFN) f[n] = signal « numérique » = signal « à temps

IV. Modèle de Kapp L’approximation de Kapp consiste à négliger le courant i10 devant i1 lorsque le transformateur fonctionne en charge. Vu du secondaire, le transformateur est alors équivalent à une f.e.m. (Es) en série avec une impédance (Zs) : avec : Remarque : les grandeurs du primaire sont multipliées par m2 lorsqu’elles sont rapportées au secondaire Détermination des éléments du modèle : Essai à vide (i2=0) sous tension